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V orwort. 
und nach und zwar, was zu beachten ist, durch die Behandlung geo 
metrischer, kinematischer und mechanischer Probleme in den Arbeiten 
von Kepler, Cavalieri, Descartes, Wallis und namentlich Fermat. 
Es waren ähnliche Betrachtungen, die Newton und Leibniz dazu 
führten, das innere Wesen und besonders das gegenseitige Verhältnis 
dieser beiden Begriffe zu erkennen und damit die Infinitesimalrechnung 
zu begründen. Denselben geometrisch-mechanischen Ursprung hat dann 
insbesondere auch die Theorie der Differentialgleichungen sowie die 
Variationsrechnung gehabt. 
Nicht minder charakteristisch, wenn auch weniger beachtet ist es, 
dass der Transformationsbegriff, der in der neueren Mathematik immer 
stärker hervortritt und sich neben dem Functionsbegriff als ein selb 
ständiger Fundamentalbegriff geltend macht, bei den älteren Geometern, 
wenn auch natürlich nur in sehr specieller Form, so doch in der An 
schaumig seinen Ursprung hat. Auch der diesem Begriff nahestehende 
Begriff: Differentialinvariante tritt uns zunächst in der Geometrie, näm 
lich in der Krümmungstheorie entgegen. 
Schon diese kurzen Bemerkungen zeigen, dass Geometrie und 
Mechanik in den früheren Jahrhunderten den mächtigsten Einfluss auf 
die Entwickelung der Analysis ausgeübt haben. Dass umgekehrt auch 
die mächtigsten Rückwirkungen von der Analysis auf die Geometrie 
und die Mechanik ausgingen, liegt auf der Hand und braucht hier 
nicht weiter erläutert zu werden. 
Diese so glückliche Wechselwirkung wurde dadurch gefördert und 
überhaupt ermöglicht, dass die Einzeldisciplinen verhältnismässig nicht 
zu umfangreich waren, sodass noch am Schlüsse des vorigen Jahr 
hunderts Euler, Lagrange, Laplace und um die Wende des Jahr 
hunderts Gauss und dann Oauchy alle Zweige der Mathematik um 
fassen konnten. 
In unserem Jahrhundert ist dies nach und nach anders geworden. 
Der Umfang der Einzeldisciplinen wuchs in ausserordentlichem Masse, 
ja es bildeten sich neue selbständige Wissenschaften, wie die mathe 
matische Physik in den Händen von Laplace, Ampere, Fourier, 
Fresnel, Green, Gauss, Cauchy, Poisson und Lejeune-Dirichlet. 
Die Geometrie, die im vorigen Jahrhundert durch Euler und 
Monge in neue Bahnen geleitet worden war, nahm ebenfalls einen 
mächtigen Aufschwung, indem auf der einen Seite durch Carnot, 
Brianchon und insbesondere durch Poncelet die projedive Geometrie 
als selbständige Disciplin begründet und dann von Möbius, PIücker, 
Chasles und Steiner weiter entwickelt und auf der anderen Seite