§ 5. Beispiele von Berührungstransformationen. 
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so liefert unser Theorem 1 ausserdem die beiden Gleichungen: 
a x xi + a 2 y { + a 3 + (b x x x + + b 3 ) y' = 0, 
aiX + + G + («2^ + & 2?/ + <*) yi = °- 
Auflösung nach i/ 1? ?// liefert, sobald man die Unterdeterminanten 
der Determinante 
U + %&2 C 3 
hinsichtlich a h b h c t mit A h B h C /: bezeichnet: 
(, r _ Av’ — B i + c i(v — x v') 
1 4,2/' - A + CAy-xy'Y 
A i,' — Tt n Ul — 
(37) 
a,x l) t rj + c t 
«2 x + h V + C 2 
Hier ist die Determinante: 
0 a x x x + a 2 y x + a 3 b x x x + b 2 y x + b 3 
B = o x x + b x y -f- c x a x b x 
a 2 x -f- b 2 y -f- c 2 a 2 b 2 
Sie reduciert sich infolge von (36) auf die Determinante 
2J 4- a x b 2 c 3 . 
Es ist demnach vorauszusetzen: 
2J Gy U\b 2 c 3 =]= 0. 
Unter dieser Voraussetzung ist (37) eine Berührungstransformation. 
Wie (36) lehrt, ordnet sie jedem Punkt eine Gerade und jeder Geraden 
einen Punkt zu. Sie ist eben die allgemeine Dualität*). Inbesondere 
kann sie sich auf die Transformation durch reciproke Polaren vermöge 
eines Kegelschnittes reducieren. Dies tritt, wie sich leicht beweisen 
lässt, dann ein, wenn die Gleichung (36) symmetrisch in den Ver- 
änderlichenpaaren x, y und x x , y x ist, und zwar lässt sich dann 
*) Im Jahre 1822 hatte Poncelet in dem Werke Traité des propr. proj. die 
Theorie der reciproken Polaren entwickelt. Ausführlicher stellte er sie in dem oben 
(S. 27) genannten Mémoire dar. Alsdann deutete Gergonne in den Annales de 
Mathém., Bd. 16, 1825 — 26, S. 209, das allgemeine Princip der Dualität an. Dass der 
Übergang von der Transformation durch reciproke Polaren zur allgemeinen Dualität 
immerhin ein gewisser Fortschritt war, gab Poncelet nie zu. Allerdings waren 
Gergonne’s Entwickelungen, wie Poncelet mit vollem Recht hervorhob, vag 
und nicht frei von wesentlichen Fehlern. Eine richtige Würdigung beider Trans 
formationen findet sich alsdann bei Möbius in seinem barycentrischen Calcul (1827) 
und später bei PIücker.