58 Kap. 2. Definition und Bestimmung der Berührungstransformationen der Ebene. 
2. Beispiel. 
Dilatation. 
die Gleichung des zu Grunde liegenden Kegelschnitts auf die Form 
bringen: 
A x B x C x x 
A A a 2 y _ o 
A b 3 c 3 i 
x y 10 
2. Beispiel: Wählen wir ii = 0 in der Form: 
a = (x — + (y — yA — n 2 = o, 
so liefert das Theorem 1 noch die beiden Relationen 
a — x t + (y — 2/i) y' = 0, x — x x + {y — y x ) y x = 0, 
sodass aus allen dreien folgt: 
/oo\ n v' I 
(38) x x = x — Z7 =4== ) 2/1 = 2/ + 
>Jx ==y 
yr-f-i/'“ 7 1 yi + V“ 7 
Diese Gleichungen stellen die Dilatation um die Strecke n dar. (Vgl. 
§ 2 des 1. Kap., Formeln (11'), S. 15.) Die Determinante A ver 
schwindet hier nicht vermöge — 0, solange, wie wir voraussetzen, 
n von Null verschieden ist. 
Aus der geometrischen Bedeutung der Dilatation erhellt unmittelbar, 
dass, wenn man zunächst die Dilatation I) n um die Strecke n, alsdann 
die Dilatation D nl um die Strecke m ausübt, das Endergebnis dasselbe 
ist, als ob man nur die Dilatation D n + m um die Strecke n -j- m aus 
geführt hätte. Dies muss sich auch in den Formeln zeigen. In der 
That, die Dilatation D n wird durch (38) dargestellt. Sie führt die 
Linienelemente (x, y, y ) in neue Elemente (x x , y l} y L ') über. Die nun 
auszuübende Dilatation D m um die Strecke m wird diese neuen Elemente 
in andere (x 2 , y 27 y.[) verwandeln vermöge der Gleichungen: 
my x ’ 
(39) x 2 = X x - 
Eliminieren wir 
so ergiebt sich 
x 2 — x - 
24 = 24 + 
24 = 24 
yi + y/ 27 1/2 ** ' Vl + Vi [ 
hieraus vermöge (38) die Zwischenwerte x x , y l7 y x , 
(n + m) y' 
24 = y + 
n -f- rn 
24 
y 
VT+Y~ S ’ ' 1 VT+y-*’ 
d. h. die Dilatation der ursprünglichen Elemente (x, y, y') um die 
Strecke n + m. Damit ist die Richtigkeit der symbolischen Gleichung: 
D n D n i D n _)_ m 
analytisch dargethan. 
Es giebt insgesamt oo 1 Dilatationen, da in den Gleichungen (38) 
ein Parameter n auftritt. Wir können nun also sagen: Die Schar 
aller oo 1 Dilatationen hat die Eigenschaft, dass die Aufeinanderfolge 
zweier 
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