§ 5. Beispiele von Berülirungstransformationen.
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zweier Dilatationen stets einer Dilatation äquivalent ist. Wir drücken
dies dadurch, aus, dass wir sagen: Alle Dilatationen bilden eine Gruppe,
und mar eine Gruppe mit einem Parameter, also — wie wir sagen
wollen — eine eingliedrige Grippe von Berührungstransformationen.
Wir werden im 6. Beispiele durch eine besondere Fragestellung
abermals auf die Dilatationen gefürt werden.
Nunmehr wollen wir besondere Kategorien von Berührungstrans-
formationen aufstellen, die dadurch definiert sind, dass sie mit gewissen
einfachen Punkttransformationen vertauschbar sein sollen. Sind S und T
zwei Transformationen, so sagen wir, dass sie vertauschbar sind, wenn
die Aufeinanderfolge ST dasselbe giebt wie die Aufeinanderfolge TS,
symbolisch ausgedrückt, wenn
ST=TS
ist. ,
Es seien S, T zwei vertauschbare Berührungstransformationen und
zwar T eine erweiterte Punkttransformation. Wenn der Punkt p ver
möge T in den Punkt p x übergeht, so drücken wir dies durch die
symbolische Gleichung aus:
(iOr-Cft).
Entsprechend, wenn S den Punkt p in die Curve k überführt, so
schreiben wir:
(p)S = (k).
Nun soll
(jj) TS = (p) ST
sein, d. h.
(ft )S = (k)T.
Weiss man also, dass der Punkt p vermöge S in die Curve k über
geht, und verwandelt T den Punkt p in den
Punkt j^, so geht letzterer vermöge S in die Curve
über, die aus der Curve k durch T hervorgeht.
3. Beispiel: Gesucht wird die allgemeinste
Berührungstransformation, die mit allen Trans
lationen vertauschbar ist.
Ist S eine mit allen Translationen T ver
tauschbare Berührungstransformation und führt
S einen bestimmten Punkt p in die Curve k
über, so wissen wir auch, in welche Curven
alle anderen Punkte bei S übergehen. Denn
es giebt ja stets eine Translation, die p nach einer beliebigen Stelle^ führt.
Nach dem Vorhergehenden wird S den Punkt p x in die Curve k A über
führen, die aus k durch eben diese Translation hervorgeht. (Vgl. Fig. 27.)
Fig. 27.
Eingl.
Gruppe v.
Dilatat.
Vertausch-
barkt. von
Trf.
3. Beispiel.
