men der Ebene. 
§ 5. Beispiele von Berührungstransformationen. 61 
gleichgestellte 
hier die be- 
l verschoben, 
at: 
nngstransfor- 
), 
lie Annahme 
vertauschbare 
' = y', 
ansformation, 
d. 
kt p in die 
dation längs 
über, die 
nsformationen, 
‘t besitzt. Alle 
dliclie Gruppe. 
durch ebendiese Translation aus k hervorgeht. Mithin gehen alle 
Punkte einer zur y-Axe parallelen Geraden bei S in congruente und 
gleichgestellte Curven über, d. h. ¿2 = 0 hat die Form: 
(41) £l(x, x x , y — y x ) = 0. 
Hieraus leitet man nach Theorem 1 die gesuchte Berührungstrans 
formation ab. 
5. Beispiel: Gesucht wird die cdlgemeinste Berührungstransfonnation, 5 
die mit allen Botationen um den Anfangspunkt vertauschbar ist. 
Wir legen hierbei Polarcoordinaten r, cp zu Grunde, indem wir 
auf die Schlussbemerkungen des vorigen Paragraphen verweisen. Geht 
der Punkt p bei der gesuchten Berührungstransformation in die Curve 
k über, so gehen diese Gebilde durch Rotation um den Anfangs 
punkt in Punkte p x und Curven k x über derart, dass die gesuchte 
Berührungstransformation die p x in die k x verwandelt. Also hat £1 = 0 
hier die Form: 
(42) £l(r, r x , cp — cpf) = 0. 
Setzt man x, x x , y, y x statt r, r x , cp, cp x , so kommt die Gleichung 
(41) des vorigen Paragraphen. Der innere Grund hierfür liegt darin, 
dass die Rotationen um den Anfangspunkt in Polarcoordinaten: 
r x = r, cp x = cp -[- Const. 
dieselben Gleichungsformen wie die Translationen längs der y- Axe in 
Cartesischen Coordinateli: 
haben. 
x x = x, y x — y -f- Const. 
6. Beispiel: Gesucht wird die allgemeinste Berührungstransformation, 
die mit allen Botationen um den Anfangspunkt und mit allen Translationen 
vertauschbar ist. Sie wird mit allen Bewegungen der Ebene überhaupt 
vertauschbar sein, da sich jede solche aus einer Rotation um den 
Anfangspunkt und einer Translation zusammensetzen lässt. Die Gleichung 
£1 = 0 muss in Cartesischen Coordinaten die Form (40) und in Polar 
coordinaten die Form (42) haben. Nun hat die Gleichung 
£l(x — x Xf y — yf) = 0 
in Polarcoordinaten die Form (42) nur dann, wenn sie x — x x und 
y — y x in der Verbindung 
(x — x x ) 2 + (y — y x y 
enthält, sodass die Gleichung £1 = 0 in der Form angenommen werden 
kann: 
£l = (x — x x y -}- (y — y x y — n 2 = 0. 
Diese Gleichung aber trat schon im 2. Beispiel auf. Also folgt: 
. Beispiel 
I. Beispiel