Dilatation. 
. Beispiel. 
62 Kap. 2. Definition und Bestimmung der Berührungstransformationen der Ebene. 
Satz 12: Die einzigen mit allen Bewegungen der Ebene vertausch 
baren Berührungstransformationen sind die Dilatationen. 
7. Beispiel: Gesucht wird die allgemeinste Berührungstransformation 
die mit allen Rotationen um den Anfangspunkt und mit allen Streckungen 
vom Anfangspunkt aus vertauschbar ist. 
Unter Streckung vom Anfangspunkt aus ist die Ahnlichkeits- 
transformation 
x 1 = n ■ x, y x — n • y 
zu verstehen. Die Gleichung £1 — 0 der gesuchten Berührungstrans 
formation muss zunächst nach dem Ergebnis des 5. Beispiels in Polar- 
coordinaten die Form (42) haben: 
&(r, r x , cp — <pf) = 0. 
Sie muss nun ungeändert bleiben, wenn die Punkte (r, cp) und (r lf epf 
gleichzeitig der Streckung vom Anfang aus unterworfen, d. h. r und r x 
mit demselben Factor multipliciert werden. Sie hat deshalb die Form: 
ß (7, <P — (fi) = °- 
Setzen wir 
lgr=p, lgr x = Q l7 
so nimmt sie, geschrieben in den neuen Coordinaten p, cp, die Form an: 
F(q — Q x , cp — epf) = 0. 
Vergleich mit der Gleichung (40) des 3. Beispiels zeigt, dass wir den 
damaligen Satz 11 unmittelbar übertragen können. 
d cp 
Jetzt sind p, cp und die Grösse die wir mit cp bezeichnen 
wollen, die Linienelements-Coordinaten, die an die Stelle von x, y, y' 
treten. Wir finden daher als die Form der gesuchten Berührungs 
transformation diese: 
(?Cö(<p) 
cp. 
Wir führen nun wieder Polarcoordinaten ein, indem wir setzen: 
r = ec, r x — e? 1 , 
<P 
dep 
dr 
sodass sich ergiebt: 
dep 
d Q 
1 
r. 
(43) 
? 1 
<Pi = cp e 
dio(r(p') 
re d(r< f > ) , 
/ rx , r d CO (rep') 
f - nirep ) + r<p -¿çyy, 
dui(r(p) 
d{r(p') * 
Es 
element 
Winkel 
Elemen 
bildet. 
also dai 
Elimini 
epf dur 
aus (4t 
(44) 
Sa1 
Rotation 
punkt a 
ivenn r, 
(G % G 
Sei 
die ja e 
ist: 
(45) 
Dies ah 
als Pol.