64 Kap. 2. Definition und Bestimmung der Berührungstransformationen der Ebene. 
(r, cp, x), wenn man von 0 auf die Gerade des letzteren das Lot fällt 
(vgl. Fig. 29) und im Fusspunkt das neue Element so anbringt, dass 
es mit dem Radiusvector den Winkel % 
bildet. Man vergleiche hierzu die in Fig. 9, 
S. 17, gegebene Construction. 
Es ist klar, dass auch alle Wieder 
holungen FF = F 2 , FFF = F ?> u. s. w. 
der Fusspunkt - Transformation F, die 
durch (45) dargestellt wird, mit allen 
Rotationen um 0 und Streckungen von 
0 aus yertauschbar sind. Mithin müssen 
die Formeln (44) bei passender Wahl 
der Function co (tg t) diese Wieder 
holungen der Fusspunkt-Transformation 
F darsteUen. 
Führen wir nach (45) nochmals diese 
Fusspunkt-Transformation aus, so geht das Linienelement (r 2 , cp 2 , t 2 ) 
hervor, für welches 
r 2 ee r x sin t v <p 2 = (p t + x 1 — , tr 2 = x x , 
also nach (45) 
r 2 = r sin 2 X, cp 2 = cp 4" 3Z, r 2 = r 
ist. Dies ist daher F 2 . Nochmalige Wiederholung von F giebt F 5 : 
T 3 — r Sill 3 T, Cp 3 — (p + 3t | TT, t 3 = x 
u. s. w. Endlich F n wird dargestellt durch 
(46) r n = r sin” t, (p n — (p + nt — ^ 3t, r n = x. 
In der That geht diese Transformation aus (44) hervor bei der be 
sonderen Annahme: 
(47) co = n | tg x lg sin t — x -f- ~ | > 
d. h. wenn man für co das w-fache der Function setzt, die zu wählen 
ist, wenn sie die Fusspunkt-Transformation F selbst geben soll. 
Besonders interessant ist es nun, zu sehen, dass die Gleichungen 
(46) auch dann eine Berührungstransformation der Elemente (r, cp, t) 
in die Elemente (r n , <p n , x n ) darstellen, wenn n nicht gerade eine ganze 
positive Zahl, sondern eine beliebige Constante ist. Denn die Gleichungen 
(44) stellen ja stets eine Berührungstransformation dar, also auch bei 
der Annahme (47), wodurch eben (46) hervorgeht. So giebt die An- 
Fig. 29.