68 Kap. 3. Definition d. Benihrungstransformationen durch Differentialgleichungen. 
x 1 = X(x,y,y'), y x = Y(x,y,y'), yf = F(x, y, y') 
durch gewisse Differentialrelationen verknüpft sind, die notwendige und 
hinreichende Kriterien für die Berührungstransformation ergeben. Diese 
Relationen lehren, dass man z. B. die Function X völlig willkürlich — 
nur nicht constant — wählen darf, während dann Y eine beliebige von 
X unabhängige Lösung einer gewissen linearen partiellen Differential 
gleichung ist. Die zugehörige Function P endlich ergiebt sich hinterher 
ohne weiteres. 
Die soeben genannte lineare partielle Differentialgleichung lässt 
sich in durchsichtiger Weise deuten; sie sagt aus, dass die Functionen 
X, Y dann und nur dann zu einer Berührungstransformation gehören, 
wenn die Gleichungen X = Const., Y — Const. intermediäre Integrale 
einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung in x, y sind. 
Hieraus ziehen wir weitere Schlüsse, besonders auch über die Aus 
führung von Berührungstransformationen auf Differentialgleichungen 
zweiter Ordnung. 
Endlich besprechen wir einige Entwickelungen, die von Lagrange 
und Plücker herrühren, welche unter den Vorläufern der allgemeinen 
Theorie der Berührungstransformationen der Ebene einen hervor 
ragenden Platz einnehmen. 
§ 1. Relationen zwischen den Functionen X, Y, P. 
Vorausgeschickt sei, dass wir von jetzt an häufig statt des Zeichens 
y' das bequemere p, also entsprechend statt y t auch p l benutzen 
werden. — 
Liegen nun drei Gleichungen von der Form 
(1) x, = X(x, y,p), y 1 = Y(x, y,p), p x = B(x, y,p) 
vor, so wissen wir, dass sie eine Transformation in den Veränderlichen 
x, y, p darstellen, wenn X, Y, P von einander unabhängig sind; wir 
wissen ferner, dass diese Transformation eine Berührungstransformation 
ist, sobald infolge von (1) eine Bedingung von der Form 
(2) d Y — FdX = q ■ (dy — p dx) 
besteht. Die Function q darf nicht identisch verschwinden, weil sonst 
die Functionen X, Y, P nicht von einander unabhängig sind. (Vgl. 
Satz 3, § 3 des vorigen Kapitels, S. 45.) 
Die Bedingung (2) liefert die drei einzelnen: 
Y x — X x P -f- p q — 0, 
Yy — XyF — e = 0, 
Y p — X P F =0. 
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