§ 1. Relationen zwischen den Functionen X, Y, P. 
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Dies sind drei in p, — P und 1 lineare homogene Gleichungen, deren 
Determinante also Null sein muss. Diese Determinante lautet: 
Y x 
X x 
p 
Xy 
Xy 
— 1 
Y P 
'Xp 
0 
oder ausmultipliciert: 
(4') X, (F, + p Y y ) - Y p (X x + pX y ). 
Wenn wir wollen, können wir diesen Ausdruck auch so schreiben: 
(4") Ä Y x - X x Y p ) + p(X p Y y - X y Y p ), 
sodass die erste Klammer die Functionaldeterminante von X, Y hin 
sichtlich p, x, die zweite die Functionaldeterminante von X, Y hin 
sichtlich p, y enthält. Diese Determinante muss nun verschwinden, 
d. h. es ist: 
(5) X p (Y x +pY y ) - Y p (X x +pX y ) = 0. 
Da Ausdrücke von der Form (4') im Folgenden eine bedeutende 
Rolle spielen, so ist es zweckmässig, sie durch ein besonderes Zeichen 
darzustellen. Wir benutzen das seit Lagrange und Poisson ge 
bräuchliche Klammersymbol: 
\XY]. 
Ehe wir weitergehen, halten wir es für angebracht, einige Eigen 
schaften des Klammerausdruckes und insbesondere Rechenregeln zu 
seiner Benutzung anzugeben. Der Ausdruck 
(6) [XY] = X p (Y x +p Yy) - Y p (X x +pXy) 
zeigt unmittelbar, dass 
[ri].= -[zr] 
ist. Der Klammerausdruck ist also identisch Null, wenn die beiden 
Functionen X, Y übereinstimmen. Er ist auch dann Null, wenn Y 
eine Function von X oder eine der Functionen X, Y eine Constante 
ist. Da [XF] in den partiellen Diiferentialquotienten von X und Y 
bilinear ist, so ergeben sich sofort noch folgende Regeln für das 
Rechnen mit diesem Symbole. Es ist allgemein: 
[9>;^ + *]= [9>^] + [<PZ\, 
[cp, cp • %\ = 1>[(p%] + %[(p4>l 
Endlich ergiebt sich noch die Regel: 
[cp, a(il>)] = o/(» ■ [cptl 
Mit Benutzung des Symbols [XX] lässt sich nun die Bedingung 
(5) auch so schreiben: 
(5') 
Kelation 
zwischen 
X und Y. 
K lamme r- 
symbol. 
[XY] = 0.