§ 1. Relationen zwischen den Functionen X, Y, P. 
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so besteht auch eine Gleichung von der Form: 
dY — PdX = Q(dy — pdx), 
in der 
Q = [PX] e|e 0 
ist, und X, Y, P sind alsdann von einander unabhängig. 
Setzen wir nun voraus, es seien X, Y, P solche Functionen von Umkehrung. 
x,y,p, die den Gleichungen (15) identisch genügen, so sind X und Y 
von einander unabhängig. Denn es ist dann zunächst X keine (kon 
stante, weil sonst [P2] = 0 und also die zweite Formel (15) nicht 
erfüllt wäre. Es ist aber auch Y keine Function von X allein, denn 
wenn: 
Y=<p(X) 
wäre, so käme nach (15) 
Q P=[PY] = cp'(X) [PI] EEE <p'(X) Q , 
also 
P=cp'(X), 
mithin [PX] = 0, was wieder der zweiten Gleichung (15) widerspricht. 
Folglich hat sich, da nun die Voraussetzungen des Satzes 3 erfüllt 
sind, ergeben: 
Satz 4: Sind X, Y, P solche Functionen von x, y, p, die den 
Gleichungen genügen: 
[I7] = 0, [PX] = Q , [.PY]eeqP, 
in denen q eine von Null verschiedene Function von x, y, p bedeute, so 
sind X, Y, P von einander unabhängige Functionen und erfüllen die 
Gleichung: 
dY— PdX = g(dy —pdx), 
mit anderen Worten: dann stellen die Gleichungen: 
x t = X(x, y, p), y 1 = Y(x, y, p), p t = P{x, y, p) 
eine Berührungstransformation vor. 
Zusammengefasst hat sich also das folgende Theorem ergeben: 
Theorem 2: Die Gleichungen 
x t = X(x, y, y'), y t = Y(x, y, y'), yf = P{x, y, y) 
Notw. u. 
hinreich. 
Bedinggn. 
f. eine 
Bertrf. 
stellen dann und nur dann eine Berührungstransformation 
dar, wenn 
[XY] = 0, [.PX] = Q , [PY]~qP