§ 2. Deutung der Involutionsbeziehung. 
Wenn zwei Functionen X, Y von x, y, p in der Beziehung zu 
einander stehen, dass ihr Klammerausdruck 
[XY] = 0 
Involution. ist, so sagen wir: die beiden Functionen X, Y liegen in Involution. 
Nun haben wir im vorigen Paragraphen erkannt (vgl. Satz 5, oben), 
dass man zu zwei von einander unabhängigen Functionen X und Y 
von x,y,p dann und nur dann eine dritte Function P von x,y,p so 
hinzufinden kann, dass die Gleichungen: 
(20) = X(x, y, p), y x = Y(x, y, p), p x = P(x, y, p) 
eine Berührungstransformation darstellen, wenn die Functionen X, Y 
in Involution liegen. 
Diese Bemerkung führt zu einer einfachen begrifflichen Auffassung 
der Involutionsbeziehung. 
Sollen nämlich die Gleichungen 
Xi = X(x f y, p), y x = Y(x, y, p) 
zusammen mit einer passenden Gleichung 
lh = V, P) 
eine Berührungstransformation, also eine Zuordnung der (xy)- und 
(x x y x )-Ebene bestimmen, bei der jedem Elementverein ein Element- 
*) Sophus Lie, Verhandlungen der Gesellschaft der Wissensch. zu Christiania 
1872 — 73, sowie Mathem. Annalen Bd. 8, 1874. 
74 Kap. 3. Definition d. Berührungstransformationen durch Differentialgleichungen. 
ist, ivobei q irgend eine von Null verschiedene Function von 
x, y, y' sein darf. Insbesondere ist dann: 
dY — PdX = (?(dy — y dx). *) 
Auch wollen wir noch besonders notieren: 
Satz 5: Die beiden ersten Functionen X, Y in den Gleichungen 
einer Berührungstransformation 
Xy = X(x, y, p), y x = Y(x, y, p), py = P(x, y, p) 
sind nur den beiden folgenden Bedingungen unterworfen: Erstens müssen 
sie von einander unabhängig sein und zweitens müssen sie die Belation 
[XY] = 0 
erfüllen. Es giebt alsdann stets eine und nur eine zugehörige Berührungs 
transformation. 
Dieser Satz ist nur eine andere Ausdrucksweise des Satzes 1.