§ 2. Deutung der Involutionsbeziehung. 
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verein zugeordnet ist, so müssen sich, bei dieser Berührungstransfor- 
mation die oo 1 Linienelemente der (rr^)-Ebene, die durch den Punkt 
x i — a , Vi — & 
gehen, in der (xy)-Ebene als oo 1 Linienelemente eines Vereines ab 
bilden. Es müssen also die Gleichungen 
(21) X(x, y, p) = a, Y(x, y, p) = b, 
welche Werte auch die Constanten a, b haben mögen, stets einen 
Verein von oo 1 Linienelementen (cc, y, p) darstellen. Dass dies nur für 
[XT] = 0 der Pall ist, beweisen wir so: Infolge von (21) bestehen 
zwischen dx, dy, dp für diese oo 1 Linienelemente (x, y, p) die beiden 
Relationen 
| X x dx -j- X y dy -f- X p dp = 0, 
1 Y x dx + Y y dy -f Y p dp = 0. 
Sie sollen, verlangen wir, zusammen mit (21) die Gleichung 
dy —pdx = 0 
nach sich ziehen. Oder also, da die Constanten a, b in (21) beliebig 
sind, es soll die letzte Gleichung infolge von (22) allein identisch 
bestehen, d. h. es soll 
V, x p 
Y x Yy Y p 
— P 1 ^ 
= 0 
oder also 
[IF] = 0 
sein. Hiermit ist der Beweis erbracht und gleichzeitig folgende wichtige 
Deutung der Involutionsbeziehung gefunden: 
Satz 6: Zwei von einander unabhängige Functionen X, Y von Erste 
x, y, p liegen dann und nur dann in Involution, wenn die beiden iwoiutfou.' 
Gleichungen 
X(x, y, p) — a, Y(x, y, p) = b, 
welche Werte auch die Constanten a, b haben mögen, stets oo 1 Linien 
elemente (x, y, p) bestimmen, die einen Elementverein bilden. 
Wir wollen dies Ergebnis in neuer Weise formulieren und gleich 
zeitig einen neuen Beweis liefern. 
Liegen zwei gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung 
in x, y vor: 
u 0, V, V') = 0, v (x., y, y') = 0, 
so besitzt jede oo 1 Integralgebilde. Dabei ist es natürlich die Regel,