76 Kap. 3. Definition d. Berührungstransformationen durch Differentialgleichungen. 
dass es kein Integra]gebilde giebt, das beiden Gleichungen gemeinsam 
ist. Ausnahmsweise kann dies aber ein treten. 
Liegt nun eine Differentialgleichung erster Ordnung mit einer 
willkürlichen Constanten a vor: 
(23) X(x, y, y') = a, 
so besitzt sie für jeden Wert der Constanten a oo 1 Integralgebilde. Alle 
durch vorliegende Gleichung dargestellten oo 1 Differentialgleichungen 
erster Ordnung bestimmen mithin oo 2 Integralgebilde, die in Scharen 
von je oo 1 angeordnet sind, indem jede Schar zu einem bestimmten 
Wert von a gehört. 
Sehen wir von dem Fall ab, dass die vorgelegte Gleichung frei 
von y ist, d. h. nehmen wir nach § 2 des 2. Kap. (S. 41) an, dass 
die betrachteten oo 2 Integralgebilde oo 2 Integralcurven sind, so giebt 
es natürlich eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung in 
x, y, deren Integralcurven gerade diese oo 2 Curven sind. Es ist dies 
die durch Differentiation von (23) hervorgehende Gleichung: 
(24) X x + X y y' -f- Xy y" — 0, 
die, weil sie frei von a ist, von den Integralcurven aller oo 1 Gleichungen 
(23) erfüllt wird. Man sagt, dass X = 0 ein intermediäres Integral 
dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung ist. 
Liegt umgekehrt eine beliebige gewöhnliche Differentialgleichung 
zweiter Ordnung in x, y vor, so lassen sich ihre oo 2 Integralcurven in 
beliebig vielen Weisen in oo 1 Scharen von je oo 1 Curven anordnen. 
Jede Anordnung liefert ein intermediäres Integral X — a. Eine 
Differentialgleichung zweiter Ordnung in x, y hat also unendlich viele 
intermediäre Integrale. 
Fordern wir nun, dass die beiden von einander unabhängigen 
Functionen X(x, y, y') und Y(x, y, y') intermediäre Integrale ein und 
derselben Differentialgleichung zweiter Ordnung sein sollen, so haben 
wir zu verlangen, dass die beiden Gleichungen 
X x -f- X v y -f- Xyy" = 0, 
Y x +Y y y' + Yyy" = 0 
dieselbe Differentialgleichung zweiter Ordnung darstellen, d. h., dass 
X x + X y y' __Xy 
Tyy'~ Y v 
sei. Dies ist aber nichts anderes als die Gleichung 
[XJ] = 0. 
Also sehen wir: 
I