Erster Abschnitt. 
Über die Convergenz der Thetareihe. — Einige Definitionen, Formeln und 
Sätze über Thetafunctionen. 
1. 
Unter einer jnfacli unendlichen Thetareihe versteht man eine j)-fach unendliche 
Reihe, bei welcher der Logarithmus des allgemeinen Gliedes eine ganze rationale Function 
zweiten Grades der p Summationsbuchstaben ist. Eine solche Reihe kann, wenn man 
die Summationsbuchstaben mit m 2 , . .., m p bezeichnet, immer in die Form: 
= +00 ni 
P' 
ß=P ß=P ß=P 
+ 00 2 2 +(/("V OT /'' + 2 2 
,u=1 /«'=1 U = 1 
e 
2-2 
m l = — oo m p=—co 
gebracht werden, bei der die \p(jß -f- 1) Grössen a P(l ’ = die p Grössen h p und 
die Grösse c von m l , m 2 , . .., m p unabhängig sind. 
Die erste Frage ist die, welche Bedingungen die Grössen a, h, c erfüllen müssen, 
damit die aufgestellte Reihe absolut convergiré. Bezeichnet man aber den reellen Theil 
von a pp ’ mit so ergibt sich sofort als nothwendige Bedingung für die absolute 
Convergenz der Thetareihe die, dass der Werth des Ausdruckes: 
p=p ß—p 
B = 2 2 r pp "m p m p ’ 
n=i ß’= i 
stets gegen — oo gehe, wenn irgend welche der p ganzen Zahlen m ihren absoluten 
Werthen nach über alle Grenzen wachsen, und es lässt sich weiter an der Hand der 
dann immer bestehenden Darstellung von B: 
B = j m 1 -{- 
+ 
r d) 
1 12 
' 11 
r (2) 
'22 
r w 
1 11 
r (l) 
n h + (IT + 
7 ii 
M) 
i T ^P 
+ -¡fr m p 
1 ii 
rg¡ 
n h 4- ++ ni s 4- 
,.(2) 
22 
+ 
+ 
+ 
r (2) 
'2 p 
jñ 
' 22 
nir, 
,.ip) 
r (/*—1) 
r p—lp—l 
(m p y 
zeigen, dass diese als nothwendig erkannte Bedingung für die absolute Convergenz der 
1*