78 Kapitel 4, § 4. 
Die bei der infinitesimalen projectiven Transformation 
TJf={a + cx +dy-j-hx 2 -\~1cxy)~~ + (& + ex + </«/ + hxy + Jcy 2 ) 
invarianten Punkte x, y ergeben sieb durch Nullsetzen der beiden 
Coefficienten: 
a -|- cx + dy -f- hx 1 hxy — 0, 
h -j- ex -j- gy -j- hxy -}- lii/ = 0. 
Diese beiden quadratischen Gleichungen müssen wir durch gemeinsame 
Wurzelpaare x, y zu befriedigen suchen. Die erste ist linear in y 
und giebt: 
a + cx + 
y d -(- kx 
Setzt man diesen Wert in die zweite ein, so wird sie nicht vom 
vierten, sondern nur vom dritten Gerade in x, d. h. es giebt (im all 
gemeinen) drei Wertepaare x, y, und mithin lässt die infinitesimale 
projective Transformation TJf im allgemeinen drei verschiedene Punkte 
invariant. Es ist dann selbstverständlich, dass die Seiten des von 
diesen drei Punkten gebildeten Dreiecks invariante Geraden sein müssen, 
denn jede dieser Geraden geht ja wieder in eine Gerade über, während 
doch zwei Punkte auf ihr fest bleiben. Wäre noch eine vierte Gerade 
invariant, so würden ihre Schnittpunkte mit den drei anderen invariante 
Punkte sein. Da es aber deren nur drei giebt, so folgt, dass im all 
gemeinen keine vierte invariante Gerade existiert. Das invariante Ge 
bilde von Punkten und Geraden ist also ein Dreieck. 
Wohlbemerkt können für specielle projective Transformationen 
(z. B. für die Translationen) ganz andere Umstände statthaben, denn 
es ist möglich, dass die obige Auflösung der beiden quadratischen 
Gleichungen bei besonderer Wahl der Constanten a, b, c • • • Je zu ganz 
anderen Ergebnissen führt. Doch wollen wir hier nur den allgemeinen 
Fall in Betracht ziehen. Ein tieferes Eingehen auf diese wichtige, 
wenn auch einfache Frage ist hier noch nicht am Platze. 
Um nun die Bahncurven der von TJf erzeugten eingliedrigen pro 
jectiven Gruppe zu bestimmen, wollen wir das Coordinatensystem so 
wählen, dass die beiden Axen und die unendlich ferne Gerade jenes 
invariante Dreieck bilden. (Dies lässt sich immer durch eine projective 
Umformung des Coordinatensystems erreichen.) Alsdann haben die 
Constanten a, b, c • • • Ti in Uf specielle Werte. Da zunächst der An 
fangspunkt in Ruhe bleiben soll, so muss a = h = 0 sein (denn für 
x == y — 0 müssen £ und y verschwinden). Der unendlich ferne Punkt 
der x-Axe ist invariant, wenn jede Gerade, die ihn enthält, also jede