Einige wichtige Klassen von infinitesimalen Transformationen der Ebene. 79 
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Gerade x = Const., in eine ebensolche transformiert wird. Ist also 
x = Const. gesetzt, so muss auch x + dx = Const., d. h. dx muss frei 
von y sein. Demnach ist d = l = 0. Analog ist e = h = 0, sodass bleibt: 
beiden 
TT r. . df , df 
Die endlichen Gleichungen der von Uf erzeugten eingliedrigen Gruppe 
ergeben sich entweder durch Integration des simultanen Systems 
einsame 
ar in y 
dx 1 dy l 
ent 9 V i 
in der Form 
7 lg x 1 — t = | lg x, 
lit vom 
(im all- 
tesimale 
Punkte 
des von 
müssen, 
während 
j Gerade 
wariante 
! im all- 
mte Ge- 
J 1 SVi = gy, 
d. h. aufgelöst in der Form 
x x =xe?\ y 1 =y&‘ f 
oder durch Reihenentwickelung. Es ist ja hier 
Ux — cx, UUx = c 2 x, • • •, 
Uy — gy, VUy = g^y, • 
sodass kommt: 
= X -j- cx J c'^x j-^2 -\ 
Vi=y + gy y + y 2 y jVä H = y e9t - 
Die Bahncurven finden wir, indem wir aus 
nationen 
sn, denn 
rati sehen 
x = x 0 e ci , y — y 0 e 9t 
t eliminieren. Dies giebt als Bahncurve 
ix\g _ iy\c 
zu ganz 
gemeinen 
wichtige, 
\a3 0 / \y 0 / 
oder, wenn x 0 9 : y 0 c — y (= Const.) gesetzt wird: 
x 9 — yy c = 0. 
gen pro- 
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also jede 
Man sieht, dass die Bahncurven algebraische Curven sind, wenn g und c 
in rationalem Verhältnis stehen. Für c= 1, g = 2 z. B. sind sie die 
Kegelschnitte: 
— yy = 0, 
d. h. alle Kegelschnitte, welche zwei Seiten des invarianten Dreiecks, 
nämlich die ;c-Axe und die unendlich ferne Gerade, in ihren Schnitt 
punkten mit der dritten Seite, der y- Axe, berühren. 
Ist c : g nicht rational, so sind die Bahncurven 
x 9 — yy° = 0