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Vorwort. 
Diese Vorlesungen haben auch insofern Bedeutung, als sie weiter 
gehende Studien vorhereiten. Unsere Entwickelungen geben nämlich 
dem Leser eine Ahnung von der ausserordentlichen Fruchtbarkeit des 
Begriffes der infinitesimalen Transformationen und der von ihnen er 
zeugten Gruppen für die Integrationstheorien überhaupt. Viele unter 
den speciellen Anwendungen dieser Begriffe dürften ebenso wichtig 
sein als gewisse Theorien, die man heutzutage mit dem Namen von 
Principen belegt. So ordnet sich — um hier nur eine Anwendung 
zu nennen, die allerdings im vorliegenden Buche nicht enthalten ist — 
die ganze Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ord 
nung dem Begriff der infinitesimalen Transformationen unter und 
dementsprechend jedes Problem, welches sich auf eine partielle Dif 
ferentialgleichung erster Ordnung zurückführen lässt, also namentlich 
das allgemeine Problem der Dynamik. Z. B. fliessen aus der nahezu 
selbstverständlichen Thatsache, dass die partielle Differentialgleichung 
erster Ordnung, welche dem Problem der n Körper äquivalent ist, die 
Gruppe der Bewegungen des Raumes gestattet, die Plächensätze und 
die ersten Schwerpunktsintegrale. 
Schliesslich wird der Leser durch diese Vorlesungen vorbereitet 
zur Inangriffnahme des allgemeinen und ganz besonders wichtigen 
Problems, ein sogenanntes vollständiges System mit bekannter Gruppe zu 
integrieren. Die allgemeine Erledigung dieses Problems, auf das sich 
sehr viele wichtige andere zurückführen lassen, unter anderen die 
Beduction von gegebenen Differentialgleichungen auf typische Formen, 
würde jedoch zunächst das Studium der Theorie der Transformations 
gruppen erfordern. 
Das Wenige, was von der Theorie der Transformationsgruppen 
in diesem Lehrbuche gebraucht wird, ist ausführlich von den ersten 
Elementen an entwickelt. Daher kann und soll dies Werk dazu 
dienen, einerseits die Bedeutung der Gruppentheorie klar zu machen, an 
dererseits das Eindringen in dieselbe in besonderem Maasse zu erleichtern. 
Aus dem Gesagten erhellt, dass es keineswegs im Plane des 
Buches lag, nach irgend einer Seite hin eine vom Standpunkt des 
Fachmannes abgeschlossene Theorie zu geben. Auch ist im Interesse 
der leichteren Verständlichkeit die Begründung der Entwickelungen 
nicht immer ganz streng gehalten, und überdies wurden von vorn 
herein gewisse Probleme und Theorien überhaupt von der Betrachtung 
ausgeschlossen, so insbesondere functionentheoretische Fragen, wie die 
nach der Existenz der Integrale, ferner die Verwertung der soge 
nannten Berührungstransformationen u. s. w. Dennoch aber bildet 
dieses Werk ein in sich abgeschlossenes Ganzes.