Kapitel 5, §§ 1, 2. 
Kriterium 
für die 
Invarianz 
einer Our- 
venschar. 
B(x, y) — b der zweiten Schar identisch sein. Zwischen den Con- 
stanten a und b besteht also die Beziehung, dass zu jedem a ein 
bestimmtes b gehört, d. h. b ist eine Function von a: 
b = Si(a). 
Liegt nun ein beliebiger Punkt (x, y) der Ebene etwa auf der Curve 
A{x,y) = a x , 
so liegt er selbstverständlich gleichzeitig auf der Curve B(x, y) = £l{af) 
und daher besteht identisch die Gleichung: 
B{x, y) = Si(A{x, y)), 
in Worten: 
Zwei Gleichungen 
A(x, y) = Const., B(x, y) — Const. 
stellen dieselbe Schar von oo 1 Curven dar dann und nur dann, wenn B 
eine Function von A allein ist: 
B{x, y) = &{A{x, y)). 
Von diesem Hülfssatz aus der analytischen Geometrie werden wir 
sogleich Gebrauch machen. 
Es sei nämlich 
co (x, y) = Const. 
eine Schar von oo 1 Curven. Wir fragen nach einem analytischen Kri 
terium dafür, dass dieselbe die Transformation 
(1) x l = cp (x, y), y 1 = cp{x, y) 
gestattet. 
Jede Curve co(x, y) — Const. soll durch die Transformation (1) 
wieder in eine solche Curve übergehen. Um dies auszudrücken, haben 
wir zunächst die Gleichung der Curve aufzustellen, in welche eine 
Curve co(x, y) = Const, durch die Transformation (1) übergeführt wird, 
und dazu bedarf es der Auflösung der Gleichungen (1) nach x, y. Ist: 
(2) x = yf), y = W{x ± , yf) 
diese Auflösung, so lautet die Gleichung der Curve, in welche 
co (x, y) — Const. transformiert wird: 
co{®{Xi, yf), W{x 1} yf)) = Const., 
allerdings geschrieben in den Coordinaten x 17 y 1 . Diese Gleichung 
soll also wieder die gegebene Curvenschar vorstellen, die wir, wenn 
wir auch darin die Coordinaten mit x x , y x bezeichnen, so schreiben 
können: 
co (x x , yf) = Const.