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Kapitel 5, § 2. 
Die Gleichungen einer beliebigen Transformation der Gruppe, die 
jetzt an die Stelle der Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen treten, 
lauten nach Theorem 4 (3. Kap., § 3): 
x t = x + { üx + ~Uüxj , 
9i = V + y Uy + Uüy H . 
(3) 
Unser Verlangen kommt nach Satz 1 darauf hinaus, dass für jedes l 
(nämlich für jede Transformation der Gruppe Uf) vermöge (3) eine 
Relation bestehen muss von der Form 
« («!,&) = W{o(x,y)). 
(4) 
Die Substitution der Werte (3) in eine beliebige Function ist schon 
in dem citierten Theorem angegeben. Danach ist: 
Dies soll nach (4) eine Function von <a{x,y) allein sein und zwar für 
alle Werte von t. Es müssen demnach die Coefficienten der verschie 
denen Potenzen von t einzeln Functionen von œ(x, y) allein sein, ins 
besondere der Coefficient von t 1 . Als eine erste notwendige Bedingung 
ergiebt sich folglich, dass eine Relation bestehen muss von der Form 
ÜG>{x, y) = 1+ n = Si{a{x, y)) 
(6) 
und zwar identisch für alle Werte von x und y. Aber diese Be 
dingung ist auch völlig hinreichend, denn nun ist identisch 
also auch eine Function von co allein, ebenso UUTJco u. s. w. In (5) 
sind also wirklich alle Coefficienten nur Functionen von a(x,y'), so 
bald (6) erfüllt ist. 
Wir haben hier wie in § 1 immer nur die Forderung gestellt, 
dass jede Curve der Schar ra (x, y) — Const. vermöge der betreffenden 
Transformationen wieder in irgend eine Curve der Schar übergehe. 
Es ist nun insbesondere denkbar, dass jede Curve der Schar in sich 
iibergeführt wird, also einzeln invariant bleibt. Offenbar ist dies nur 
ein Specialfall des Obigen und das Kriterium (6) bleibt auch dann 
noch richtig. In diesem Falle ist oj(x, y) eine Invariante der ein 
gliedrigen Gruppe und demgemäss hat dann (6) die speciellere Form 
Uco = 0. (Vgl. §§ 1, 2 des 4. Kap.)