Kriterium dafür, d. e. Schar vonoo 1 Curven alle Transf. d. eingl. Gruppe gestattet. 91 
Theorem 7; Die Schar von oo 1 Curven 
co (x, y) = Const. 
gestattet dann und nur dann alle Transformationen der ein 
gliedrigen Gruppe Uf, wenn üco eine Function von co allein ist: 
üco = iß(cj). 
Insbesondere bleibt jede Curve der Schar einzeln bei allen 
Transformationen der Gruppe invariant, wenn Uco = 0 ist*). 
Wir forderten, dass die Cnrvenschar co (x, y) = Const. alle Trans 
formationen der von Uf erzeugten eingliedrigen Gruppe gestatte. Wir 
wollen jetzt einmal nur verlangen, dass die Schar die infinitesimale 
Transformation Uf der Gruppe gestatte. Dieselbe führt alle Puukte einer . iu ? ui ' 
1 x i o tesimalen 
einer Curve , Tran ?" 
formation. 
co{x, y) — c 
in ihnen unendlich benachbarte Punkte 
x i = x-\-ldt, y i =y-\-ri8t 
über, und diese sollen wieder auf einer solchen Curve liegen. Es soll 
also der Ausdruck: 
Vi) = V + V dt ) 
oder, wenn man von unendlich kleinen Grössen 2. Ordnung absieht: 
eine Function von co(x,y) allein sein. Daraus folgt, dass eine Rela 
tion von der Form 
bestehen muss. 
Satz 2: Die Schar von oo 1 Curven co{x, y) = Const. gestattet die 
infinitesimale Transformation Uf, sobald Uco eine Function von co 
allein ist: 
Uco = lii(co). 
Die Übereinstimmung dieses Kriteriums mit dem im Theorem 7 
aufgestellten lehrt ferner; 
Satz 3: Gestattet eine Schar von oo 1 Curven der Ebene eine infini 
tesimale Transformation, so gestattet sie auch alle Transformationen der 
von dieser infinitesimalen Transformation erzeugten eingliedrigen Gruppe. 
*) Lie, Gesell, d. W. zu Christiania 1874.