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Kapitel 5, § 3. 
§ 3. Beispiele. 
Wir erläutern das Vorhergehende an einigen einfachen Beispielen. 
1. Beispiel: Die Schar von oo 1 Parallelgeraden 
co{x, y) = y — nx = Const. 
gestattet alle Translationen der Ebene, wie schon in § 1 bemerkt 
wurde. Insbesondere gestattet sie auch alle Translationen der ein 
gliedrigen Gruppe 
x \ — x + at, y x — y + bt, 
in der a und h gegebene Zahlen bedeuten und t der Parameter der 
Gruppe ist. Wir wollen dies mit Hülfe unseres Theorems verificieren: 
Die identische Transformation der Gruppe ergiebt sich für t — 0, die 
infinitesimale also für t — dt. Es kommt für dieselbe dx = adt } 
dy = iöt, sodass das Symbol der infinitesimalen Transformation der 
Gruppe lautet: 
TT n df , , df 
ü f= a r x + b d7/ 
Für die Geradenschar 
co = y — hx — Const. 
ist nun 
Ua = a S Jl.^ + b ?ir^ = - ax + b , 
Uco ist also bloss eine Constante. Eine Constante ist aber auch als 
Function von co allein aufzufassen, sodass das Kriterium stimmt. 
2. Beispiel: Wir fanden in § 1 auch, dass die Schar von oo 1 
Kreisen 
co{x, y) = x — ]/V 2 — y 2 == Const. 
alle Transformationen der eingliedrigen Gruppe der Translationen 
längs der ¿c-Achse: 
x 1 = x + t, y 1 = y 
gestattet. Die infinitesimale Transformation dieser Gruppe hat das 
Symbol 
und es ist daher: 
u f=r. 
= ES) = i, 
d. h. in der That eine Function von co allein, nämlich bloss eine 
Constante. 
3. Beispiel: Die Schar von oo 1 Geraden 
co 
Const.