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Kapitel 5, § 3. Kapitel 6, § 1. 
dass dann Sl = 1 wird. Denn die Curvenschar ca = Const. kann ja 
in jeder Form ^(o) — Const. geschrieben werden und es ist: 
= K U * = t & (-> 
Wählt man also die Function ip(coi) so, dass 
dip{ co) 
dco 
iß(co) = 1 
wird, so wird Uif>(ca) = 1. Wir dürfen also annehmen, die Curven 
schar co == Const. sei so geschrieben, dass Uco = 1 wird oder: 
8co . 8co 
y 8x~^~ X 8y 
1. 
Zur Integration dieser Gleichung bemerken wir, dass sie äquivalent 
ist dem simultanen System 
dx dy dco 
— y x 1 ’ 
und dies besitzt ausser x 2 -f- y 2 noch ein Integral, das co enthält und 
sich leicht berechnen lässt. Es ist ja: 
xdy — ydx 
x 2 + y* 
dco 
^7 irhstfi 
A * (*, 
= Const. 
Die allgemeinste Curvenschar co — Const., welche alle Rotationen 
Af- um den Anfangspunkt gestattet, ergiebt sich demnach aus der Gleichung 
\rCti^iÄcUyi iZ*~yt< 'VI 
F -- F (x 2 -{- y 2 , arctg — cjj = 0 
! / p* </h t ^ u y. —■ _ cVu*i das Cus’sctJI/Ca^. 
durch Auflösung nach ca in der Form: ^'CtiUk&JLuuKJ - -f - 
co(x, y) = arctg -f- fix 2 -j- y 2 ) = Const. 
Hierin ist f eine beliebig annehmbare Function von x 2 -f- y 2 . Ins 
besondere ergiebt sich für f — a lg ]/iC 2 -f- y 2 die Schar von logarith- 
mischen Spiralen: 
arctg — -(- a lg ]/x 2 -f- y 2 = Const. 
Const. 
Weitere Feispiele zur Behandlung: 
1) Zu beweisen, dass die Schar der oo 1 Kreise x 2 -f- y 2 
bei allen Transformationen der eingliedrigen Gruppe 
x x = xt, y x = yt 
invariant bleibt. 
2) Zu beweisen, dass dieselbe Kreisschar auch alle Transforma 
tionen der eingliedrigen Gruppe