Zusammenhang zwischen e. iniin. Transformation u. e. Integrabilitätsfactor. 95 
x x = (x cos t — y sin tye*, y x — (x sin t -f- y cos t)e* 
gestattet. 
3) Zu beweisen, dass die soeben angegebene Gruppe auch die 
Schar von oo 1 logarithmischen Spiralen: 
y 
t arctg— 
yx 2 -f- y 2 — ae x — Const. 
invariant lässt. 
Natürlich soll jedesmal das Theorem 7 angewandt werden. Mau 
verificiere aber, wo es nicht evident ist, die Invarianz immer noch 
nachträglich, indem man vermöge der endlichen Gleichungen der be 
treffenden Gruppen die neuen Veränderlichen x x , y x einführt und sich 
davon überzeugt, dass die neue Gleichung der Curvenschar sich mit 
der ursprünglichen deckt. 
Kapitel 6. 
Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung in x, y, welche eine 
eingliedrige Gruppe gestatten. 
In den bisherigen Kapiteln hat sich noch keine Gelegenheit ge 
zeigt, die Theorie der eingliedrigen Gruppen für die Differential 
gleichungen zu verwerten. In diesem Kapitel machen wir einen ersten 
Schritt in dieser Richtung. 
§ 1. Zusammenhang zwischen einer infinitesimalen Transformation 
und einem Integrabilitätsfactor. 
Wir betrachteten im vorigen Kapitel eine Schar von oo 1 Curven, 
welche alle Transformationen einer eingliedrigen Gruppe gestattete. 
Analytisch werden oo 1 Curven entweder, wie dort geschehen, durch 
eine Gleichung mit einer willkürlichen Constanten 
ca (x, y) = Const. 
oder aber als die Integralcurven einer gewöhnlichen Differential 
gleichung zwischen x und y 
(1) X(x, y)dy — Y(x, y)dx = 0 
definiert. Von jetzt ab wollen wir uns an die letztere Definition 
halten, also annehmen, die endliche Gleichung der Curvenschar sei 
nicht bekannt, sondern nur ihre Differentialgleichung (1) sei vorgelegt. 
Andererseits nehmen wir an, dass wir zufälliger Weise wissen, 
dass die durch (1) dargestellte unbekannte Schar von oo 1 Curven eine 
gewisse bekannte infinitesimale Transformation