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Kapitel 6, § 1. 
Vf = W,y)% + n{x,y)?f y 
gestatte. 
Das unbekannte Integral co{x, y) der Differentialgleichung (1) 
erfüllt identisch die lineare partielle Differentialgleichung 
(2) 
y 3 CO . -yr 3 CO 
X dx + 1 Jy 
0. 
(Ygl. § 5 des 1. Kap.) überdies muss für dasselbe, da die Curven- 
schar co — Const. die infinitesimale Transformation Uf gestattet, nach 
Theorem 7 (5. Kap., § 2) Uco eine Function von co allein sein 
Uco 
3 co > 3 c0 r /■ \ -v 
J r y lj^= =Sl { (0 \ x >y))' 
(3) — a- 
Wie bekannt ist mit co jede Function 0 von co allein ebenfalls .Integral 
der Differentialgleichung (1), denn es ist ja: 
(4) Z ee= ■ (x — + Y~) = 0, 
v ' 3x ' 3y dco \ ox ' 3y! ’ 
sobald (2) erfüllt ist. Auch ist U0{cd) als Function von 0 allein 
darstellbar, denn es ist: 
(5) 
U0{a) 
dd>{co) 
Uco 
d$(co) 
ii(co). 
dco dco 
Wenn hieraus co vermöge 0 — 0(co) fortgeschafft wird, stellt sich 
Ü0 als Function von 0 allein dar. 
Setzen wir voraus, dass in (3) ii(o) =(= 0 sei, d. h. dass nicht 
einzeln jede Integralcurve co — Const. für sich hei der infinitesimalen 
Transfonnation Uf invariant hleihe (vgl. Theorem 7), so können wir 
uns offenbar die Function 0 von co so gewählt denken, dass Ü0~1 
wird. Denn nach (5) haben wir zu diesem Zwecke 0 nur so zu be 
stimmen, dass 
d$ 
ii(cj) = 1 
wird, also zu setzen: 
0 
Si 
dco 
Sl{co) 
Folglich dürfen wir voraussetzen, für das unbekannte (soeben mit 0, 
von jetzt ab mit co bezeichnete) Integral co{x,y) sei: 
und 
Xp + Y d ? a = 0 
3x ' 3y 
TT C.dco , 3 CO 
Tja = i d-x+^di = 
1. 
Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich P und P berechnen: 
° 0 X vy 
3co Y 3co X 
Xrj - Yi 
Xy-YV