Zusammenhang zwischen e. infin. Transformation n. e. Integrabilitätsfactor, 97 
You der unbekannten Function co sind also die partiellen Differential- 
quotieuten nach x und y bekannt. Daher ist auch co selbst nach 
einem Satze aus der Theorie der Differentialgleichungen durch blosse 
Quadratur zu bestimmen, denn es ist jetzt 
Xdy — Ydx 
Xn- Yi 
notwendig ein vollständiges Differential, mit anderen Worten; es ist 
l 
X V - r| 
ein Integrabilitätsfactor oder Euler’scher Multiplicator der gewöhnlichen 
Differentialgleichun g 
Xdy — Ydx — 0. 
Theorem 8*): Weiss man, dass die Schar der Integralcurven 
einer vorgelegten Ei ff‘er entialgleichung 
Xdy — Ydx = 0 
eine bekannte infinitesimale Transformation 
t df , df 
gestattet, 'welche jedoch nicht jede Integralcurve für sich in 
variant lässt, so ist 
i 
x v - n 
ein Integrabilitätsfactor der Eiffer entialgleichung und diese 
also durch eine Quadratur integrierbar in der Form: 
Dieses wichtige Theorem lehrt also, wie die Kenntnis einer in 
finitesimalen Transformation, welche die Schar der Integralcurven 
invariant lässt, für das Integrationsproblem verwertbar ist. 
Doch hatten wir ausgeschlossen, dass die infinitesimale Trans 
formation jede Integralcurve für sich invariant liesse. Dies darf nicht 
überraschen: Man kann nämlich von vornherein jede infinitesimale 
Transformation angeben, welche jede Integralcurve der Differential 
gleichung 
Xdy — Ydx = 0 
einzeln invariant lässt. Denn die Differentialgleichung ordnet jedem 
Punkte (x, y) die Tangentialrichtung 
*) Dieses merkwürdige Theorem wurde zuerst 1874 veröffentlicht in den 
Verhandlungen der Gesellschaft d. Wiss. zu Christiania: „Zur Theorie des Inte- 
grabilitätsfactors“ von Sophus Lie. 
Lie, Differentialgleichungen, 7