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Kapitel 6, § 8. 
gestattet alle Translationen längs der x-Axe, d.h. die eingliedrige Gruppe 
Я -f 
-J-• Es ist hier also 
ex 
Um die Differentialgleichung erster Ordnung aufzustellen, der die Kreis 
schar genügt, suchen wir zunächst das oben mit оэ bezeichnete Integral 
durch Auflösung der Gleichung 
(x — df -f- y 2 — r 2 = 0 
nach a. Es kommt 
со {x,y) = x — f/r 2 — y 2 
und also 
3 CO у 
dy 
8(0 .. 
1 ’ 
df 
УТх 
V r2 ~ у 2 Ц, = °> 
dx 7 Oy y' r . _ r 
Daher genügt co der linearen partiellen Differentialgleichung 
Af 
und die gew. Differentialgleichung, deren Integral 03 ist, lautet 
ydy -{- ]/V 2 — y 2 dx = 0. 
Es ist, wie sich durch Ausführung ergiebt: 
U(Af)-A{Uf) = 0, 
d. h. das Kriterium stimmt. 
Unbequem ist hier das Auflösen der Gleichung der Kreisschar 
nach a. Wir hätten allerdings auch ohne Auflösen die Differential 
gleichung finden können, deren Integralcurven diese Kreise sind. 
Denn aus 
(x — d) 2 -(- y 2 — r 2 = 0 
folgt durch Differentiation 
x — a -{- yy — 0 
oder x — a — — yy, sodass 
y 2 y 2 -)- !/ 2 — r 2 = 0 
die gesuchte Differentialgleichung ist. Aber um Af zu bilden, müssen 
wir diese Gleichung in der Form Xdy — Ydx = 0 schreiben, also 
doch nach y auf lösen, wodurch eben die obige Form 
ydy -f- ]/V 2 — y 2 dx = 0 
hervorgeht. Wir werden späterhin ein Kriterium dafür, dass eine ge 
wöhnliche Differentialgleichung 
F{x } y, y) = 0