Integr. d. gewöhnl. Differentialgl. erst. Ord. d. Einführ, canon. Veränderlicher. 115 
co (x, y) = Const. 
der Gruppe Vf bekannt sind, alsdann einfach i = co(x, y) zu setzen 
ist, und dass sich darauf ty, das die Gleichung 
erfüllen muss, durch eine Quadratur bestimmen lässt. Die Curven- 
schar = Const. ist hiernach eine von den Scharen, welche die ein 
gliedrige Gruppe Vf gestattet (nach Theorem 7, § 2 des 5. Kap.), 
und zwar eine beliebige solche Schar, denn wir sahen früher (S. 94 
u. 96) gelegentlich, dass jede invariante Schar, die nicht aus lauter in 
varianten Curven besteht, eine solche Form cp (x, y) = Const. erhalten 
kann, dass Vcp gerade gleich 1 wird. 
Die vorgelegte Differentialgleichung Xdy — Ydx — 0 möge nun 
in den neuen Veränderlichen j, 's), aufgelöst nach dt), die Form haben: 
dt) ~ Sfe f») di = 0. 
Sie gestattet die infinitesimale Transformation Vf, die in den neuen 
Yariabeln lautet: 
K. 
dt) 
Wir werden zeigen, dass hieraus folgt, dass ^ frei von t) ist. Ob 
gleich dies auch auf andere Weise direct eingeseheu werden kann, 
wollen wir diese Behauptung durch Benutzung des Theorems 9 (§ 2) 
zur Einübung desselben beweisen. Wir haben statt des dortigen Af 
und Vf zu benutzen: 
und es kommt: 
Dies soll die Form 4 • *Af haben. Das geht aber offenbar nur so an, 
dass 4 = 0 ist und 
d. h. die transformierte Differentialgleichung 
dt) — %($) di = 0 
ist ganz frei von f), und ihre Integration ist durch eine blosse Qua 
dratur zu leisten: 
t) — dl = Const. 
Satz 9: Gestattet die Differentialgleichung 
Xdy — Ydx — 0 
die eingliedrige Gruppe Vf, und kennt man die Dahncurven der Gruppe, so