Integr. d. gewöhn!. Differentialgl. erst. Ord. d. Einführ, canon. Veränderlicher. 117
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bei Uf invariante Cnrvenschar Ij (x, y) — Gon st. Führt man alsdann £
und t) an Stelle von x und y als Veränderliche in die Differential
gleichung ein, so erscheint sie unter separierter Form, ist also durch
Quadratur zu integrieren.
Man sieht, dass die in diesem Paragraphen entwickelte Inte
grationsmethode nicht so viel leistet als die früher in Theorem 8 des
§ 1 gegebene, denn sie setzt die Kenntnis der Bahncurven der ein
gliedrigen Gruppe Uf voraus. Insbesondere ist sie aber immer an
wendbar, wenn die endlichen Gleichungen dieser Gruppe Uf bekannt
sind (vgl. Satz 7 des § 2, 4. Kap.).
Diese im Jahre 1869 von Lie entdeckte Integrationsmethode
dürfte wohl die erste sein, bei welcher Invarianten einer continuier-
lichen Gruppe in bewusster Weise zur Integration von Differential
gleichungen angewandt wurden. Wir werden an einer späteren Stelle
eine dieser Methode analoge, aber allgemeinere Integrationstheorie
entwickeln, welche Anwendung auf partielle Differentialgleichungen findet.
Diese Methode giebt das allgemeinste System von Veränderlichen,
durch deren Einführung alle Differentialgleichungen, welche Uf ge
statten, separiert werden. Unter den unendlich vielen Systemen solcher
Veränderlicher kann man sodann auch nach demjenigen suchen, welches
der transformierten Differentialgleichung die einfachste Form erteilt
und dann wird man im allgemeinen zu eben dem neuen Variabeln-
paar geführt, durch dessen Benutzung die betreffenden Differential
gleichungen in den gebräuchlichen älteren Lehrbüchern integriert zu
werden pflegen.
1. Beispiel: Will man die sogen, homogene Differentialgleichung
integrieren, so führt man bekanntlich ^ neben x als neue Veränder
liche ein. Dies findet seine Begründung durch unsere Methode. Denn
bei der vorstehenden Differentialgleichung ist die zugehörige lineare
partielle Differentialgleichung
und die Differentialgleichung gestattet die eingliedrige Gruppe von
Ahnlichkeitstransformationen:
df
df
