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Kapitel 6, § 5. 
ü{Af)-Am = -^+[x^ + y 
d cp 
\ df 
-VU 
dx 1 u dy 
und dies ist, da cp homogen in x, y und also nach dem Euler’schen 
Satze über homogene Functionen 
Sqp . dcp A 
x -ö-- 4- y ~ = 0 
dx ' J öy 
ist, gleich — Af. Nach unserem Theorem 9 gestattet also die vor- 
gelegte homogene Differentialgleichung die eingliedrige Gruppe der 
Ahnlichkeitstransformationen TJf. Die Bahncurven derselben sind 
— = Const., 
x 7 
während die Schar x — Const. eine invariante Geradenschar ist, welche 
die Gleichung Ux — x erfüllt. Bei Benutzung der Yariabeln ~ und x 
wird also die homogene Differentialgleichung nach Satz 10 in der That 
durch Quadratur integrabel. 
Dies ist die Art, in der man die homogene Differentialgleichung 
gewöhnlich zu integrieren pflegt. Unsere Methode leistet aber noch 
mehr, wir können das allgemeinste Variabelnpaar angeben, welches 
alle homogenen Differentialgleichungen separiert. Zu dem Ende be 
stimmen wir j so, dass 
Ui = x~ -\- v = 0 
xS^- + y 
1 J oy 
dx 
wird. 
Ferner bestimmen 
Diese Gleichung hat das allgemeine Integral 
s = Gl)> 
wo X eine beliebige Function von ^ bezeichnet, 
wir b zunächst so, dass 
wird. Die Function t), welche dieselbe erfüllt, wird einer Gleichung 
f(Xh y) = o 
genügen, und diese Function f erfüllt die lineare Differentialgleichung: 
df 
■ i df , df A 
X tt— -r* y ö 1 5— = 0. 
dx ' J oy 1 dt) ; 
die dem simultanen Systeme 
dx dy 
x ~ y 
äquivalent ist, welches — und lg x — tj zu Integralen hat, sodass 
dt) 
~Y 
f{~, lg« — $) = 0 
oder also