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Kapitel 6, § 5. Kapitel 7, § 1. 
Diese Gleichung ist, wie es sein muss, frei von 1) und giebt durch 
eine Quadratur das Integral 
»-/nfV» 
oder also als Integral der ursprünglichen Differentialgleichung 
r <p(x + *y) _ 
J 1 -f Ktp(x -f- %y) 
d(x + xy). 
3. Beispiel: Zur Durchrechnung empfehlen wir dem Leser die 
Differentialgleichung 
acj/ — y 
x 4- yy 
= fix 2 + y l \ 
welche die infinitesimale Rotation 
Uf=-y 
K 
dx 
+ x 
Pl 
dy 
gestattet. Dies weise man mit Hülfe des Theorems 9 nach und führe 
dann die neuen Yariabeln ein. Die Bahncurven sind die Kreise 
x 2 ~h y 2 — Const, und eine invariante Curvenschar ist z. B, die der 
Geraden durch den Anfangspunkt: ~ — Const. Es ist ü~ = 1 -f- 
und wir werden statt — lieber arc tg — wählen, denn es ist 
SJß O / 
CT (arc tg |) = 1. 
Demnach wird die Differentialgleichung durch Einführung der Polar- 
coordinaten 
r = ]/x 2 -j- y 2 j y — arc tg ~ 
frei von cp, also durch eine Quadratur integrabel. Man verificiere 
dies. Hätte man als neue Veränderliche ausser g = ]/x 2 -j - y 2 nicht 
arctg^, sondern ^ selbst als b eingeführt, so wäre der Fall des 
Satzes 10 da: die Gleichung würde in den neuen Veränderlichen g 
und b separiert sein.