Beziehung zwischen zweiinfin.Transf., welche e.gew.Differentialgl. 1.0. gestattet. 127
nfinitesi-
ine Glei-
v = %dt,
die be-
bei der
tesimalen
ben, wie
) hervor:
Punkte p
3ren Pro-
ihn also
a gewisse
gralcurve
d f=y-
Demnach ist die Fortschreitungsstrecke d£]/£ 2 2 -f- p 2 , welche U 2 f dem
Punkte p erteilt, nach dem Parallelogramm der Bewegungen aus den
Strecken df]/^ 2 -^ p x 2 und pdi]/X 2 -J- Y 2 , welche der Punkte durch
U x f und Af erfährt, zu construieren. U x f führt alle Punkte einer
Integralcurve co = c in die Punkte
einer benachbarten Integralcurve
über, und bis auf unendlich kleine
Grössen zweiter Ordnung liegen
daher auch die vierten Ecken jener
Parallelogramme der Bewegungen,
welche für die Punkte p der Inte
gralcurve co = c construiert wer
den können, auf derselben benach
barten Integralcurve. (Fig. 10.)
Wenn TJ L f und ü 2 f in der Be
ziehung (2') zu einander stehen,
so werden wir daher U 2 f gar
nicht als eine wesentlich von ü x f
abweichende infinitesimale Transformation der Differentialgleichung
Xdy — Ydx — 0 auffassen. Man kann ja alle solche Transforma
tionen U 2 f sofort angeben, sobald U x f gegeben ist, und für das Inte
grationsgeschäft bringt TJ 2 f keinen Nutzen, da
X Vl - rg,
kein Integral, sondern nur eine Constante ist.
Deshalb wollen wir, wenn von zwei infinitesimalen Transforma
tionen U x f und U 2 f die Rede ist, welche die Differentialgleichung
Xdy Ydx — 0 gestattet, dabei im allgemeinen stillschweigend
voraussetzen, dass U x f und U 2 f ivesentlich von einander in Hinsicht
dieser Differentialgleichung verschieden seien, also keine Relation von
der Form (2') oder noch allgemeiner von der Form: \ 0 j v : t i
U 2 f =z %TJ x f —j- Q Af !
bestehe, in der % eine Constante bedeutet.
Unsere Formeln (1) und (2) können wir in dem Satze zusammen
fassen :
Satz 2: Zwei nicht triviale infinitesimale Transformationen ü x f und
U 2 f einer Differentialgleichung
Xdy — Ydx — 0,
deren zugehörige lineare partielle Differentialgleichung lautet:
