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Kapitel 7, §§ 2, 3. 
✓ 
Zweite 
Ableitung 
jener 
Beziehung. 
+ = 0’ 
erfüllen immer eine Belation von der Form 
ÜJ= Si(co) UJ+ q{x, y)Af, 
wo cd ein Integral der Differentialgleichung bedeutet. 
Wir können zu demselben Ergebnis auch auf mehreren anderen 
Wegen gelangen, welche erwähnt zu werden verdienen, da die be 
treffenden Methoden an sich Interesse darbieten. 
3. Andere Ableitungen derselben Ergebnisse und ihre Umkehrung. 
Um auf einem anderen Wege zu unserer Formel (1) zu kommen, 
denken wir uns an Stelle von x und y neue Veränderliche eingefübrt, 
etwa 5 und t), für welche 
¿s = *H + r|s-°> 
^A|| + r| = l 
ist, also sogenannte canonische Veränderliche des Ausdrucks Af, der 
dadurch übergeht in 
df 
Af 
dt) 
(Vgl. Satz 4 des § 2, 3. Cap.) Dabei geht ü x f (nach Satz 2 desselben 
Paragraphen) über in 
während 
wird. Da jetzt Af die einfache Form f- hat, so lautet die Differen- 
tialgleichung Xdy — Ydx = 0 in den neuen Veränderlichen einfach 
d£ — 0, d. h. die Integralcurven sind die Curven £ — Const. Diese 
Schar gestattet aber eine infinitesimale Transformation TJf nur dann, 
wenn diese dem £ ein nur von £ abhängiges Increment erteilt, also 
die Form hat: 
[Y=ß( E )| + TF(M)|f 
Da U x f und U 2 f infinitesimale Transformationen der Differential 
gleichung sein sollen, so müssen sie folglich die Formen haben: 
tV=ß,(;S)f+W 1 fe9)f-