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Kapitel 7, §§ 3, 4. 
üff und darauf — Uf aus, so ist dies dasselbe, als ob wir die infini 
tesimale Transformation U 2 f — Vif ausgeführt batten. U 2 f führt die 
Curve (o — c in die Curve co = c -(- dc 2 über, 
und — Uf führt diese zurück. (Fig. 12.) 
Dabei gelangen zwar die Punkte wieder auf 
ihre ursprüngliche Curve, aber nicht gerade 
notwendig auf ihre ursprünglichen Plätze 
zurück. Sie können vielmehr längs der 
Curve infinitesimal verschoben sein. Aber 
jede solche infinitesimale Transformation hat 
Fig. 12. 
die Fortschreituijgsrichtung 
Sy = T 
ö x X 
(die von der Differentialgleichung Xdy — Ydx — 0 bestimmt wird), 
also ein Symbol von der Form 
oder q • Af. Demnach ist: 
UJ-Uf=Q-Äf 
UjEEzSlWUJ+Q-Af 
oder: 
und dies ist unsere obige Formel (5). 
Das wichtigste Ergebnis dieses Kapitels, das in Satz 1 ebenso wie 
in der Formel (5) seinen Ausdruck findet, ist, dass die Kenntnis zweier 
in Hinsicht auf die Differentialgleichung Xdy — Ydx — 0 wesentlich 
verschiedener infinitesimaler Transformationen U t f und U 2 f der Diffe 
rentialgleichung die Kenntnis eines Integrals nach sich zieht, das in dem 
Satz 1 in der Form 
X Vi - r|, 
X Vl - ri,» 
in (5) in der Form Sl(cd) geschrieben wurde. 
Da die Formel (5) wieder zu jenem ersten Satze zurückführt, 
denn aus (5) folgt 
£2 = ßli + qX, 
Va = + i> Y, 
also: 
so können wir sagen, dass wir die Möglichkeit der Verwertung von 
ÜJ und U s f zur Bestimmung des Integrals von zwei verschiedenen 
Punkten ausgehend bewiesen haben, einmal mit Hülfe der im vorigen