Ausführung aller Transform, einer eingl. Gruppe auf eine beliebige Curve. 135 
Kapitel 8. 
Über die Bestimmung der Scharen von oo 1 Curven und der 
Differentialgleichungen erster Ordnung, welche eine vorgelegte 
eingliedrige Gruppe gestatten. 
In dem vorletzten Kapitel war davon die Rede, wann eine vor 
gelegte Curvenschar co(x, y) — Const. oder eine vorgelegte Differential 
gleichung Xdy — Ydx = 0 eine eingliedrige Gruppe oder, was auf 
dasselbe hinauskommt, eine infinitesimale Transformation TJf gestattet. 
Nunmehr wollen wir in diesem Kapitel zu einer bekannten eingliedrigen 
Gruppe alle invarianten Curvenscharen und Differentialgleichungen be 
stimmen. 
§ 1. Ausführung aller Transformationen einer eingliedrigen 
Gruppe auf eine beliebige Curve. 
Wir stellen uns also jetzt die Frage: 
Gesetzt, es sei eine eingliedrige Gruppe vorgelegt, wie findet man 
alsdann alle Scharen von oo 1 Curven, welche diese Gruppe gestatten? 
Dabei wollen wir annehmen, die endlichen Gleichungen der ein 
gliedrigen Gruppe seien vorgelegt: 
(1) x t = tp{x, y, a), y x =Tp(x,y } a), 
wo a den Parameter der Gruppe bezeichnet. Um uns später recht 
knapp ausdrücken zu können, schicken wir einige nicht nur für die 
vorliegende Frage, sondern für die ganze Gruppentheorie wichtige 
formelle Bemerkungen voraus. 
Wie schon früher gelegentlich (vgl. § 2 des 4. Kap.) bezeichnen *)s y mboiische 
wir die Transformation der Gruppe, welche dem Parameter wert a mmgeu. 
zugehört, mit T a . Die Aufeinanderfolge zweier Transformationen T a 
und T b ist einer gewissen Transformation T c der Gruppe äquivalent: 
T a T b =T a , 
wo dann c eine gewisse Function von a und b ist: 
c = A(a, b). 
Führen wir insbesondere die Transformationen auf einen Punkt p 
oder auf* eine Curve k aus, so schreiben wir die Äquivalenz sym 
bolisch so: 
*) Die im Text eingefübrte Symbolik ist, wie der Leser bemerken wird, von 
der Substitutionstheorie herüber genommen.