136 
Kapitel 8, § 1. 
(.P)T a T b = (p)T c , 
(&) T a T b = (Je) T a . 
Es hat jeder Ausdruck (p) T a T b T c . . . und (Je)T a T b T c ... einen ganz 
bestimmten Sinn. Der erste z. B. bezeichnet den Punkt, in welchen 
p übergeht, wenn man auf p nacheinander die Transformationen 
T a , T b , T c . . . der Gruppe anwendet. Führen wir dieselbe Transfor 
mation T a zweimal nach einander aus, so werden wir T a T a kürzer 
mit T a 2 bezeichnen können, ebenso T a T a T a kürzer mit T a 3 u. s. w. 
Alsdann gewinnt der Ausdruck T a T b T c ... der Reihenfolge mehrer 
Transformationen grosse Ähnlichkeit mit den Producten der gewöhn 
lichen Arithmetik. Um diese für die Anwendungen recht erwünschte 
Analogie noch vollständiger zu machen, werden wir die identische 
Transformation mit T a ° = T b ° =••• = ! und die zu T a inverse 
Transformation, welche ja nach der Definition der Gruppe (vgl. § 1 
des 2. Kap.) in ihr vorhanden ist, mit TJ~ 1 bezeichnen. Dann ist 
nämlich: 
m /77 — 1 /77Q 1 
J-a 1 « a a 
und (vgl. denselben §) auch: 
ist. T a 2 würde natürlich die Reihenfolge T a 1 T a 1 bedeuten u. s. w. 
Wenn T a den Punkt p oder die Curve 1 nach p 1 resp. Je x führt: 
{P)Ta = iP 0, (ÄOTa-ft), 
(2) 
so führt T a 1 , die inverse Transformation, p x resp. \ nach p resp. Je 
zurück: 
{pJTr 1 (MT.- 1 = (i). 
(3) 
Wir hätten dies auch rein rechnerisch aus (2) ableiten können, denn 
führen wir auf beide Seiten von (2) die Transformation T a 1 aus, so 
kommt: 
Cp) T a T.r 1 = (i>x) Ta- 1 , (Je) T a T~ x = ft) T~ x 
oder, da T a T a 1 = T a ° — 1 die identische Transformation und also 
(p)l == (p), (Je) 1 = (Je) zu setzen ist: 
)T a ~\ ft -ft) Ta“ 1 . 
Diese Gleichungen sind aber dieselben wie (3). 
Nach diesen Vorbemerkungen wollen wir jetzt nach allen Scharen 
von oo 1 Curven fragen, welche bei der eingliedrigen Gruppe (1)