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138 Kapitel 8, §§ 1, 2. 
invariant bleibt, d. b. (k 1 )Tj~ 1 = (kJ und nicht = (k 0 ) ist. Wir haben 
also gefunden: 
Theorem 11: Liegt eine eingliedrige Gruppe der Ebene vor, 
so gekört jede Curve der Ebene einer und nur einer Schar von 
oo 1 Curven an, welche die Gruppe gestattet. Ist jene Curve 
Bahncurve der Gruppe, so sind alle Curven der Schar Bahn- 
curven, ist jene Curve keine Bahncurve, so ist auch keine 
andere Curve der Schar Bahncurve. In diesem Falle geht die 
invariante Schar dadurch hervor, dass man auf die eine Curve 
alle Transformationen der Gruppe ausführt. 
Sei etwa 
&{x, y) = 0 
die Gleichung der beliebig gewählten Curve, die keine Bahncurve sein 
soll. Anstatt alle Transformationen T a auf sie auszuführen, führen 
wir die inversen Tff X aus. Dies kommt auf dasselbe hinaus, denn 
jede Transformation der Gruppe ist ja die inverse einer anderen. Dies 
Verfahren ist analytisch bequemer, denn Tj~ X hat die Gleichungen (1), 
wenn man darin x lf y i als die ursprünglichen, x, y als die transfor 
mierten Yariabeln auffasst. Wir werden demnach die Gleichung der 
vorgelegten Curve so schreiben: 
&(Xx,yi) = 0 
und hierin die Werte (1) substituieren. Dadurch geht dann die in 
variante Curvenschar, welcher jene vorgelegte Curve angehört, in der 
Form hervor: 
(6) ß(g>(a, a )> ^0 X > V: °)) = °- 
Dies ist also der allgemeine Ausdruck einer bei der Gruppe 
invarianten Schar von oo 1 Curven, von denen nicht jede einzeln in 
variant ist. ß darf ganz beliebig gewählt werden, nur nicht so, dass 
ii(x, y) — 0 gerade eine Bahncurve ist, denn dann würde (6) den 
Parameter a in Wirklichkeit gar nicht enthalten. 
§ 2. Bestimmung der Differentialgleichungen erster Ordnung, 
welche eine vorgelegte eingliedrige Gruppe gestatten. 
Um nun die Differentialgleichungen Xdy— Ydx==0 zu finden, 
welche die vorgelegte Gruppe (1) zulassen, haben wir nur noch einen 
Schritt zu thun: 
Die oo 1 Curven (6) sind ja die Integralcurven einer gewöhnlichen 
Differentialgleichung erster Ordnung zwischen x und y. Man findet