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Kapitel 8, § 3. 
schreiben. Also 
Elimination von 
ergiebt: 
oder auch: 
wird die rechte Seite der obigen Gleichung nach 
a eine Function von x 2 -f- V 2 allein, sodass sich 
xdy — ydx 
xdx -j- ydy 
= F{x 2 + y 2 ) 
x v — y 
x -f yy 
F{x* + y s ). 
Dass jede Differentialgleichung dieser Art bei beliebiger Wahl der 
Function F von x 2 -f- y 2 die eingliedrige Gruppe der Rotationen ge 
stattet, wissen wir schon aus dem letzten Beispiel des § 5, 6. Kap. 
Auf einem weniger künstlichen Wege wären wir zu dieser Differen 
tialgleichung durch Einführung canonischer Yariabeln, nämlich der 
Polarcoordinaten r, cp, in die Gruppe der Rotationen gelangt. Dann 
nämlich lauten die Gleichungen der Gruppe einfach 
r x = r, cp x = <p + a. 
Ist also 
«Ol; 9>i) = 0 
die Gleichung der Ausgangscurve in Polarcoordinaten, so stellt 
co(r, cp -j- a) — 0 
die invariante Curvenschar dar. War die ursprüngliche Curvengleichung 
a{r x , <p x ) = 0 frei von g) x , so enthält auch die neue den Parameter a 
nicht, d. h. jede Curve r — Const. ist, wie wir ja auch schon wissen, 
Bahncurve. Eine invariante Curvenschar ist also die Schar der Kreise 
x 2 y 2 — Const. 
mit der Differentialgleichung 
xdx -f- ydy — 0. 
Enthält aber die ursprüngliche Curvengleichung cp x , so ist 
co (r, cp —(— a) = 0 
oder aufgelöst 
eine invariante Schar. 
cp — f{r) — Const. 
In rechtwinkligen Coordinaten lautet sie etwa: 
arc tg ^ — F x (;x 2 + y 2 ) = Const. 
und ihre Differentialgleichung hat die Form: 
x y- y , = F(x 2 + y 2 ). 
Da diese Differentialgleichung die infinitesimale Rotation 
df , df 
gestattet, so liefert Theorem 8 einen Multiplicator derselben. Zu diesem