Beispiele: Klassen von Differentialgleichungen erster Ordnung in x, y. 147 
*) Der Satz des Textes ist längst bekannt. 
10* 
Zwecke muss aber die Differentialgleichung erst linear in y gemacht 
werden: 
(x — yF(x 2 -f- y 2 ))dy — (y + xF(x 2 -f- y*))dx — 0. 
Es ergiebt sich alsdann der Multiplicator: 
1 
1 
(x — yF)x + {y -f xF)y x 2 -f- y 2 
In der That ist: 
x — yFjx 2 + y a ) d y + xF{x 2 + y 2 ) ^ 
ein vollständiges Differential. 
Die eingliedrige Gruppe der Dotationen um den Anfangspunkt lässt 
also ausser der Differentialgleichung ihrer Bahncurven: 
xdx -f- ydy — 0 
noch alle Differentialgleichungen von der Form 
invariant. Fine derartige Differentialgleichung besitzt, wenn sie in der 
Form 
(;x — yF)dy ■— (y + xF)dx — 0 
geschrieben wird, den Multiplicator —g-*) 
œ 2 -f- y' 
5. Beispiel: Auch die Gleichungen 
x x = x, y, = y -j- acp{x) 
Lineare 
Differential 
gleichung 
erster Ord 
nung in x,y. 
CO 
stellen eine eingliedrige Gruppe dar. Wenn man nämlich ansetzt: 
x 2 = x x , y 2 = y 1 -j- a x cp (xf), 
so folgt durch Elimination von x x und y x x 
x 2 = x, y 2 = y + (a + af) cp{x). 
Um die bei dieser Gruppe invarianten Differentialgleichungen zu fiudeu, 
führen wir alle Transformationen derselben zunächst auf eine Curve 
aus, deren Gleichung frei von y ist. Offenbar bleibt sie invariant, sie 
ist Bahncurve wie alle Curven der Schar 
x = Const. 
mit der Differentialgleichung 
dx == 0.