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Kapitel 8, § 3. 
Enthält dagegen die Gleichung der beliebig angenommenen Curve 
wirklich y, ist sie also in der Form 
y — il>(x) = 0 
darstellbar, so führen die Transformationen der Gruppe sie in die 
Schar über: 
y — arp{x) — iy(x) — 0. 
Ihre Differentialgleichung ergieht sich durch Differentiation: 
dy — (ay {x) -f- x[>'(x))dx = 0 
und Elimination von a in der Form 
äy ~~ (~ cp{x) X) ' + ^'(®)) dx = 
Setzen wir 
(8) 
und 
= *(-) 
so nimmt sie die Gestalt an: 
dy — (0(x)y + W(x))dx = 0 
oder 
y’ - 9(x)y - W(x) = 0, 
ist also eine sogenannte lineare Differentialgleichung. 
Umgekehrt können wir zu jeder linearen Differentialgleichung 
(9) y — 0{x)y — W(x) = 0 
eine eingliedrige Gruppe (7) angeben, welche sie gestattet. Wir brauchen 
ja nur rückwärts aus (8) <p und ^ zu bestimmen. Es kommt: 
lg <p{xj =J 0(x)di 
<p(x) = 
• 0{x) — *P(x), 
woraus sich if; bestimmen lässt. 
Die allgemeine lineare Differentialgleichung 
y — 0{x)y — W(x) = 0 
gestattet mithin die eingliedrige Gruppe 
. i<P (x) dx 
x 1 =x, y x =y-\-ae J 
Diese eingliedrige Gruppe besitzt die infinitesimale Transformation 
fci>(x)dx df_ 
e 'Sy 
Also hat unsere Differentialgleichung nach Theorem 8 den Multiplicator