Beispiele: Klassen von Differentialgleichungen erster Ordnung in x, y. 149 
*) Auch dieser Satz ist längst bekannt. 
1 
e f& (») dx 
In der That ist 
e~f&WdX' ^ — (<&(x)y -}- y F(x))e~J ,! ^ x)dx • dx 
ein vollständiges Differential. 
Die allgemeine lineare Differentialgleichung 
y — O(oc)y — W(x) — 0 
besitzt den Multiplicator 
—fa>(x)dx ^ . 
Indem man das Integral durch Quadratur bestimmt, findet man 
die bekannte Form desselben. 
Diese Theorie lässt sich auch folgendermassen entwickeln: Sei 
(10) f| - 0(x)y - = 0 
eine beliebige vorgelegte lineare Differentialgleichung und y = y 0 eine 
particulare Lösung derselben, während z die allgemeine Lösung der 
verkürzten Gleichung 
(U) 33 - 0(x)f = 0 
bedeute. Alsdann ist: 
— $(x)y 0 - W{x) == 0 
und demnach auch 
V = y 0 + ce 
eine Lösung von (10) und zwar, da sie eine Constante c enthält, die 
allgemeine Lösung, z hat nach (11) die Form: 
z = e f ct> ( x)dx 
und es ist also 
Wir können dies auch so aussprechen: Jede Transformation 
«i==», y t =y + ceS* {x)dx = y + cz 
führt die Gleichung (10) in sich über. Diese oo 1 Transformationen 
aber bilden eine eingliedrige Gruppe mit der infinitesimalen Trans 
formation : 
J~<t>{x)dx df 
G