Geometrische Deutung des Integrabilitätsfactors. 
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Es mögen nun co {x, y) = Const. die Integralcurven der Differen- A ^ e ‘ r 
tialgleichung sein. Alsdann wird die infinitesimale Transformation Uf 
jede Curve co = c in eine benachbarte co = c -f- de überführen. Dabei 
beschreibt jeder Punkt (x, y) eine infinitesimale Strecke dt ]/| 2 -f- rf, catorä ' 
deren Projectionen auf die Axen 
gleich %dt und r\dt sind, wo dt 
eine für alle Punkte gleiche in 
finitesimale Constante bedeutet. 
Im Punkte (x } y) wollen wir uns 
noch die Tangente; an die hin 
durchgehende Integralcurve co = c 
gezogen und auf ihr die Strecke 
]/X 2 Y 2 (mit den Projectionen X und Y auf die Axen) abgetragen 
denken (Fig. 13). Die beiden Strecken dt j/f 2 -f- rf und ]/X 2 -f- Y 2 
bestimmen ein Parallelogramm mit dem Inhalt 
(Xr,-Ti)dt = ±öt. 
Dieses Parallelogramm ist nun bis auf unendlich kleine Grössen zweiter 
Ordnung inhaltsgleich mit dem Rechteck über ]/X 2 -{- Y 2 , dessen Höhe 
die Breite ds des Streifens ist, den die beiden Integralcurven co — c 
und co — c-\- de einschliessen, gemessen an der Stelle (#, y). Es ist also: 
oder; 
M= dt 
Ss• J/Z 2 + Y 2 ’ 
in Worten: 
Satz 1: Ein Multiplicator M der Differentialgleichung 
Xdy — Ydx = 0 
ist umgekehrt proportional dem Inhalt des Bechteckes, dessen eine Seite 
der Normalabstand im Punkte (x, y) zwischen der durch den Punkt hin 
durchgehenden und einer infinitesimal benachbarten Integralcurve, die andere 
die auf der Tangente dieses Punktes abgetragene Strecke |/X 2 -j- Y 2 ist'*). 
Ursprünglich ist Lie zu dem obigen Satze auf einem anderen Zweite Ab- 
• ... . leitung der 
Wege gelangt, ohne mit dem Begriff der infinitesimalen Transformation geomeu-i- 
zu operieren, nämlich so : umg dea 
TI ' TT»*' 1T»*Jt>1 • Multipli- 
Es seien dx und dy die Projectionen der Breite ds des von zwei cators. 
benachbarten Integralcurven co = c und co — c -j- de eiugeschlossenen 
: ) Lie, Gesellsch. d. W. zu Christiania 1874.