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Kapitel 9, § l. 
2. Beispiel;*) Die Evolventen sind Curven, welche eine Geraden- 
scbar orthogonal schneiden. Man kann aber auch die Differential 
gleichung einer Schar von Curven, welche eine gegebene Geradenschar unter 
beliebigem, ober constanten Winkel & schneiden, durch eine Quadratur 
integrieren, denn auch hier kann der Abstand zweier infinitesimal benach 
barter Curven bestimmt werden. Schneiden nämlich zwei infinitesimal 
benachbarte dieser Curven auf einer 
als Anfangsgerade der Schar gewählten 
Geraden g 0 die Strecke da 0 ab, so be 
stimmen sie auf der nächsten Geraden 
g x , die mit g Q den Winkel d& bilde, 
die Strecke 
dAj = da 0 (1 -}- ctg & • d&), 
auf der folgenden wieder um c?ff gegen 
g x geneigten Geraden g 2 die Strecke 
da 2 = da x (1 -f- ctg @ • cZff), also 
da 2 — da 0 (1 -j- ctg & • d&) 2 
u. s. w., auf der n ten Geraden g n , die 
mit g 0 den Winkel nd& bildet, die Strecke 
da n — da 0 (1 -J- ctg & • dd) n 
(Fig, 14). Lässt man n unendlich gross werden, sodass wdfff in den 
endlichen Winkel ff übergeht, den eine beliebige Gerade g der Geraden 
schar mit der Anfangsgeraden g 0 bildet, so erhält man den Abschnitt 
(Um n = oo) da — da 0 (l + ctg @ , 
d. h. nach einer bekannten Formel der Analysis: 
da — da 0 e & ctg ®, 
und daher ist hier der Abstand ds der beiden Curven 
ds = da • sin @ = da 0 e & ctg 0 sin @. 
Nach Satz 1 besitzt somit die Differentialgleichung Xdy — Ydx = 0 
der Curvenschar den Multiplicator 
e — & ctg 0 
sin © YX 2 + Y 2 7 
wo ff natürlich eine Function des Punktes (x, y) ist, nämlich der 
Winkel, welchen- die durch diesen Punkt gehende Gerade g der ge 
gebenen Schar mit der Anfangsgeraden g 0 bildet, und wo der Factor 
sin & als blosse Constante gestrichen werden kann. & = ~ führt zu 
rück zum 1. Beispiel. 
*) Dieses Beispiel wurde von Scheffers angegeben.