Geometrische Deutung des Integrabilitätsfactors. 
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In dem speciellen Falle, dass die gegebenen Geraden sämtlich 
durch denselben Punkt gehen, wird man auf die Bestimmung der 
logarithmischen Spiralen geführt. Wir fragen dann nach allen 
Curven, welche alle von einem Punkte 
ausgehenden Strahlen unter constantem 
Winkel & schneiden. Wählen wir den 
Mittelpunkt des Strahlenbüschels zum 
Anfangspunkt und die positive x-Axe 
zum Anfangsstrahl, so ist ff der Winkel, 
dessen Tangente gleich — ist. Bezeichnet 
00 
r den Radiusvector, so ist offenbar hier 
(Fig. 15) 
tg @ == 
rd& 
dr 
Nun ist 
= arc tg -J-, r = Yx 2 + y 2 ; 
berechnet man hiernach d& und dr und setzt ihre Werte ein, so 
kommt 
w& = xd v -yjfi' 
a xdx -f- ydy 
Bezeichnen wir noch ctg & mit — a, so können wir diese Diffe 
rentialgleichung so schreiben: 
{x — ya)dx -f- {y + xa)dy = 0. 
Nach unserer Theorie muss 
— 9 ctg 0 
yX 2 +Y* 
ein Multiplicator derselben sein. Es ist hier 
X 2 —j— Y 2 — (x — ydf -j- (y + xdf = (x 2 + y 2 )( 1 -f- a 2 ). 
Der Multiplicator kann also, da constante Factoren gestrichen werden 
dürfen, in der Form angenommen werden 
a arctg — 
In der That ist: 
]/iC 2 -f- y 1 
{x — ya)dx + {y + xa)dy * » r ctg -j 
V^ + y* 
ein vollständiges Differential, nämlich von 
Yx 2 -(- y 2 . e 
a arctg —