178 
Kapitel 9, § 4. 
länge QÖt zerlegt werden soll, so ist in (23) und (24) q — 1 an 
zunehmen, d. h. wir haben anszudrücken, dass die Gleichungen 
Ady — Bdx = 0, Cdy — Ddx = 0 
die Multiplicatoren 
M = J?) *' resp. N = ^TBC 
besitzen. Dies liefert offenbar zwei partielle Differentialgleichungen 
dritter Ordnung für z. Man kann zeigen, dass dieselben nur von 
solchen Flächen gleichzeitig erfüllt werden, für die 
rt — s 2 
(T+TTW 
Const. 
ist, d. h. nur von den Flächen constanter Krümmung. Wir gehen aber 
hierauf nicht näher ein. 
ieren°Krrm Beispiel: Die vorliegende Fläche möge nunmehr die Eigen- 
Tottiimen fümlichkeit haben, dass zwischen den beiden Differentialgleichungen der 
sind. Minimalcurven und der Differentialgleichung der einen Schar der Krüm 
mungslinien die im vorigen Paragraphen betrachtete Beziehung besteht, 
tvonach das Integral der letzteren sich linear mit constanten Coefficienten 
durch die der beiden ersteren ausdrücht. Übrigens gilt dann dasselbe 
von dem Integral der Differentialgleichung der anderen Krümmungs 
linienschar, da die durch einen Punkt gehenden Minimalcurven und 
Krümmungslinien in diesem Punkte vier Richtungen mit harmonischem 
Doppelverhältnis bestimmen. Nach § 3 können wir diese Minimal 
curven und Krümmungslinien durch Quadraturen bestimmen. 
Um die geometrische Eigentümlichkeit unserer Flächengattung 
zu finden, seien die Parameterlinien u — Const., v = Const. die 
Minimalcurven. Längs derselben muss das Bogenelement Null sein, 
d. h. in 
äs 2 = edu 2 -f- 2fdudv -|- gdv 2 
ist e =» g = 0. Es bleibt demnach 
ds 2 — 2 fdudv. 
Die Differentialgleichung (19) der Krümmungslinien nimmt also die 
Form an: 
{VGdv -f -/Edu) {/Gdv — /Edu) = 0. ' 
Da das Integral von 
/Gdv -f- /Edu = 0 
die Form (p{u) -j- ^{v) haben soll — denn cp{u) und y>{v) sind die 
allgemeinen Integrale der Differentialgleichungen du = 0, dv — 0 der 
Minimalcurven —, so sind E und G von der Form: