Anwendungen auf Probleme der Fläcbentbeorie. 
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E= Q]/cp{u), G = 
wo q eine Function von u, v bedeutet. Indem wir an Stelle von u, v 
passende Functionen von u allein und von v allein als Parameter 
einführen, erreichen wir insbesondere, dass 
E = q, G = {q 
wird (wenn wir von dem Ausnahmefall E = 0 oder G — 0, in 
welchem die Krümmungslinien Minimalcurven sind, absehen). Die 
Krümmungslinien sind dann gegeben durch: 
u -\-iv = Const. 
Sie sind Isothermen. Um dies nachzuweisen — ohne uns auf die 
Theorie der Isothermensysteme auf Flächen zu stützen, nach der dies 
augenscheinlich ist — führen wir neue Parameter u lf v x ein vermöge: 
u -f- iv — 2%, u — iv = 2iv x , 
sodass u x = Const., v x — Const. die Krümmungslinien sind. Als 
dann ist: 
du = du x -j- idv x , dv — — idu x — dv x 
und also wird das Quadrat des Bogenelementes 
ds 2 == 2fdudv = — 2if{du x -f- dv x ), 
d. h. längs der Krümmuugslinien u x — Const., v x — Const. haben die 
Bogenelemente die Werte dv x ]/—2if und du x Y—2if. Zieht man 
also die Krümmungslinien u = u 0 , u = u 0 -f- £, u — u 0 -f- 2s, ..., 
v — v 0 , v = v 0 -f- £, v — v Q -f- 2s, .. ., wo s eine infinitesimale Zahl 
bedeute, so bilden sie Quadrate von der Seiteulänge £]/—2if, was 
zu beweisen war. 
Wenn umgekehrt die Krümmungslinien einer Fläche Isothermen 
sind, so folgt rückwärts, dass man das Bogenelement durch Ein 
führung passender Parameter u, v auf die Form 
ds 2 — 2 fdudv 
bringen kann und gleichzeitig u + iv — Const. die Krümmungslinien 
darstellt. Man gelangt also zu den ursprünglichen Flächen zurück, 
Satz 11: Sind die Krümmungslinien einer Fläche Isothermen, so 
t:ann man sie und die Minimalcurven der Fläche durch Quadraturen 
bestimmen. 
Übrigens ist dieser Satz, soweit er von den Krümmungslinien 
spricht, nur ein Specialfall des Satzes 5, § 2. 
Angenommen, es seien u, v beliebig gewählte Flächenparameter, 
in denen das Quadrat des Bogenelementes 
ds 2 — edu 8 2fdudv -f- gdv 2