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Kapitel 9, §§ 4, 5.
ist, und die Differentialgleichung (19) der Krümmungslinien lasse sich
in die beiden linearen Factoren zerlegen:
Adv — Bdu — 0, Cdv — Ddu — 0,
wo A, B, G, D alsdann bekannte Functionen von u, v sind, so lässt
sich ihre Integration in derselben Weise wie im vorigen Beispiel
durchführen, indem wir die infinitesimalen Transformationen aufstellen,
welche die Punkte der Fläche längs der einen Krümmungslinien um
die infinitesimalen Quadratseiten verschieben. Diese beiden infinitesi
malen Transformationen lassen jedesmal die andere Schar der Krüm-
mungslinien invariant. Wie im 1. Beispiel finden wir danach, dass
i yC*e -f 2 CBf -f- B 2 g
AB — BC
Multiplicator der einen,
1 ]/A-e -f 2ABf+B 2 g
AB —MÖ
Multiplicator der anderen Differentialgleichung der Krümmungslinieu
ist. q ist hierin noch unbekannt, aber zwischen N und M besteht
eine bekannte Beziehung, sodass die Integration nach Satz 3, § 2,
geleistet werden kann.
Wenn man die Coordinaten x, y als Parameter u, v wählt und
wie im 1, Beispiel die Bedingung sucht, welche die betrachteten
Flächen z — F{x, y) erfüllen müssen, so kommt man auch hier auf
eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung, die aus einer Inte-
grabilitätsbedingung hervorgeht. Diese partielle Differentialgleichung
aller Flächen, deren Krümmungslinien Isothermen sind, Avurde von
Weingarten*) in sehr eleganter Form zuerst aufgestellt.
Zu den hier betrachteten Flächen gehören die Flächen zweiten
Grades, die Rotationsflächen und die Flächen constanter mittlerer
Krümmung. Dass insbesondere die Minimalflächen hierher gehören
und also ihre Krümmungslinien durch Quadraturen zu bestimmen
sind, hat schon Roberts**) bewiesen.
Madien, 3. Beispiel: Angenommen, zwischen den Integralen der beiden Diffe-
sehar von rentiolgleichungcn der Minimalcurven und der Differentialgleichung der
tangenten- einen Schar der Haupttangentencurven bestehe eine lineare Beziehung mit
curven
Isothermen
sind.
*) Weingarten, Über die Differentialgleichung der Oberflächen, welche
durch ihre Krümmungslinien in unendlich kleine Quadrate geteilt werden können.
Sitzungsberichte der preuss. Acad. d. Wissensch. 1883, S. 1153—1166.
**) Roberts, Sur la surface dont les rayons de courbure sont égaux, mais
dirigées en sens opposés. Journal de Liouville, t. XI, 1. série, p. 300—312.
