Integr, gewisser Differentialgl. von Curvensch. in d. Ebene u. auf Flächen. 181 
constanten Coeffcienten. Alsdann lassen sich diese drei Curvenscharen 
auf der betreffenden Fläche durch Quadraturen bestimmen, nach § 3. 
Wegen der vorausgesetzten Beziehung sind nach der allgemeinen 
Theorie der Isothermen auf Flächen die Haupttangentencurven, von 
denen hier die Rede ist, eine Schar von Isothermen. Daher, da sich 
diese Folgerung umkehren lässt: 
Satz 12: Sind die Haupttangentencurven der einen Schar auf einer 
Fläche Isothermen, so kann man diese sowie die beiden Scharen der 
Minim alcurven durch Quadraturen finden. 
Es ist hier nicht gesagt, dass auch die Haupttangentencurven 
der ziveiten Schar Isothermen seien. Wenn aber beide Scharen zu 
sammen ein IsothermeuSystem bilden, so durchschneiden die Haupt 
tangentencurven einander senkrecht. Dies tritt bekanntlich nur bei den 
Minimalflächen ein. Umgekehrt bilden aber auch die Haupttangenten 
curven einer Minimalfiäche stets ein Isothermensystem. Somit folgt 
der von Roberts*) zuerst abgeleitete Satz, dass die Haupttangenten 
curven einer Minimalfläche durch Quadraturen zu bestimmen sind. 
Als Anhang hierzu heben wir noch eine Bemerkung über Minimal 
flächen hervor: Da mau weiss, dass parallele Ebenen eine Minimal 
fläche in Isothermen schneiden, so sind auch die Orthogonalcurven 
dieser Parallelschnitte Isothermen. Sie können nach Satz 5 des § 2 
folglich durch Quadratur gefunden werden. 
§ 5. Integration gewisser Differentialgleichungen von Curven 
scharen in der Ebene und auf krummen Flächen. 
Wir haben mehrfach von dem Satze 3 des § 2 Gebrauch ge 
macht, nach welchem die Integration zweier Differentialgleichungen 
Adv — Bdu = 0, Cdv — Ddu = 0 
nur Quadraturen erfordert, sobald man weiss, dass zwischen zwei 
Multiplicatoren M und N derselben eine Beziehung besteht von der 
Form: 
N f s 
w = cp{u,v). 
In Satz 4 des § 2 haben wir diesen Satz geometrisch eingekleidet. 
Weitere geometrische Anwendungen knüpfen sich an die folgende 
Verallgemeinerung jenes Satzes: 
Satz 13: Besteht zwischen zwei Multiplicatoren M und N der beiden 
gewöhnlichen Bifferentialgleichungen: 
Adv — Bdu = 0, Cdv — Bdu = 0 
Beziehung 
N=M a ß 
zwischen 
Multiplica 
toren zweier 
Differential 
gleichungen. 
*) Siebe die letzte Pussuote.