Integr. gewisser Differential gl. von Curvensch. in d. Ebene u. auf Flächen. ] 85 
in welche dabei die Geraden x = Const. und y — Const. übergehen, 
sind Integralcurven solcher Differentialgleichungen. 
Wir gehen dazu über, den Satz 13 auf Curvenscharen anzu-(^curven 
wenden, die auf krummen Flächen gelegen sind. Es seien also u, ^iuer Fläclie - 
Parameter einer yorgelegten Fläche und 
Adv — Bdu = 0, Cdv — Bdu = 0 
die Differentialgleichungen zweier Curvenscharen auf der Fläche. Es 
seien ferner wieder dm und dn die Seiten des von den Integralcnrven 
an der Stelle (u, v) gebildeten infinitesimalen Parallelogramms. Wenn 
wir nun alle Punkte der Fläche längs der zweiten Curvenschar um 
die Strecken dn weiter rücken lassen, so werden offenbar die Curven 
der ersten Schar unter sich vertauscht. Diese infinitesimale Trans 
formation lässt sich leicht in u und v ausdrücken. (Vgl. 1. Beispiel 
des § 4.) Da sie längs der Curven der zweiten Schar stattfindet, hat 
sie die Form 
wo r noch zu bestimmen ist und wo das allgemeine Functionszeichen f 
statt f genommen wurde, um Verwechselungen mit dem sogleich auf 
tretenden Zeichen f vorzubeugen, u und v erfahren also die Incremente 
du = rCdt, dv — xBdt 
d. h. das Quadrat der Strecke, um welche der Punkt (u, v) verschoben 
wird, ist: 
edu 2 -f 2fdudv + gdv 2 = t 2 (eO 2 + 2fCD + gD 2 )dt 2 . 
Hier bedeuten natürlich e, f, g die Fundamentalgrössen erster Ordnung 
der Fläche. Da nun die Punkte um die Strecken du verschoben wer 
den sollen, so ist also: 
dn 2 = r 2 (eC 2 -f 2fCD + gD 2 )dt 2 , 
d. h. 
dt y e C 2 + 2fGD + gD* 
Zur Abkürzung wollen wir setzen: 
^ dn 
l 
YeC 2 + 2fCD -f gD 2 =V 
und analog: 
YeÄ 2 + 2fAB + gJB 2 = ü, 
sodass jene infinitesimale Transformation das Symbol hat: 
Sie lässt die Integralcurven der Differentialgleichung