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Kapitel 9, § 5. 
Adv — Bdu — 0 
invariant, d. h. diese hat nach Theorem 8, § 1, 6. Kap., den Inte- 
grabilitätsfactor 
(30) 
WO 
A = AD — BG 
ist. Analog hat die Differentialgleichung 
Cdv — Bdu — 0 
den Multiplicator 
( 31 ) 
Nach Satz 13 sind die beiden vorgelegten Differentialgleichungen 
integrabel, wenn zwischen AI und N eine Beziehung besteht von der Form 
N = »> • ß(u, v) 
d. h. wenn — nach den letzten Ergebnissen — zwischen den Seiten 
dm und dn des Parallelogramms eine bekannte Relation besteht von 
der Form: 
Daher kann Satz 13 so ausgesprochen werden: 
Satz 16: Weiss man, dass zwischen den Seiten dm und dn der 
infinitesimalen Parallelogramme, in welche die Integralcurven ziveier vor 
gelegter Differentialgleichungen 
Adv — Bdu — 0, Cdv — Bdu = 0 
eine durch gewisse Gleichungen 
% = <P («, v), y = ip(u,v), z = x K v ) 
definierte Fläche zerlegen, eine bekannte Beziehung besteht von der Form: 
in der dt eine infinitesimale Zahl bedeutet, so verlangt die Integration 
der Differentialgleichungen nur Quadraturen. 
Dies tritt z. B. dann ein, wenn die Parallelogramme constanten 
luhalt haben. Denn ist & der Winkel der sich im Punkte (u, v) kreu 
zenden Integralcurven, so ist der Inhalt gleich dmdu sin @ = Const,, 
d. h. = dt 2 , sodass die Relation lautet: 
dv B 
sin & ist bekannt, denn längs der einen Curve ist ^ = -g, längs der