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Kapitel 10, §§ 2, 3. 
*1 
*2 
r 2 
^2 
*3 
r 3 
^3 
Es hat dies einen wichtigen geometrischen Sinn. Denn X t , Y x , Z x 
sind proportional den Cosinus der Richtung, welche das der Gleichung 
A x f — 0 entsprechende System 
dx dy dz 
— ^ 
dem Punkte (x, y, z) zuordnet. Ähnliches gilt von X 2 , Y 2 , Z 2 und 
von X 3 , Y 3 , Z 3 . Wäre jene Determinante gleich Null, so würde das 
hiernach aussagen, dass die Richtung (X 3 : Y 3 : Z 3 ) in der Ebene der 
Richtungen (Z, : Y x : Zf) und (X 2 : Y 2 : Z 2 ) Hegt. Also: Drei lineare 
partielle Differentialgleichungen A x f — 0, A 2 f — 0, A 3 f — 0 sind von 
einander unabhängig, wenn die mgehörigen simultanen Systeme dem Punkt 
allgemeiner Lage (x, y, z) drei nicht in einer Ebene liegende Dichtungen 
zuordnen, abhängig aber, sobald jene drei Dichtungen nur eine Ebene oder 
gar nur eine Gerade bestimmen. Der letzte Fall tritt ein, wenn 
zwischen A x f, A 2 f und A 3 f zwei verschiedene lineare Relationen be 
stehen, d. h. wenn 
ist. 
A 2 f=ö 2 AJ, A 3 f=a 3 AJ 
§ 3. Der Klammerausdruck und die vollständigen Systeme. 
Für das Spätere ist es nützlich, gleich hier einen gewissen sehr 
wichtigen Ausdruck zu betrachten, den wir schon früher in zwei Ver 
änderlichen kennen lernten, und zwar wollen wir ihn gleich für den 
Fall darstellen, dass n Veränderliche x 1} x 2 • • ■ x n vorliegen, um späterer 
Wiederholungen überhoben zu sein. Wir empfehlen jedoch dem Leser, 
die folgende Rechnung zur Übung für den Fall dreier Variabein be 
sonders durchzuführen. 
Es mögen also in n Veränderlichen zwei lineare partielle Differen 
tialgleichungen vorliegen: 
df , 
+ “■ 
K + 
2 dx 9 
+ a n 
1L 
dx„ 
0, 
Hier sollen cc x , a 2 • • • a n , ß t , ß 2 • • • ß n Functionen von x x , x 2 • • • x n sein. 
Wir wollen die linken Seiten dieser Gleichungen, da sie einen Diflferen-